Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 32 m — alternativa D.

A ideia por trás

A área de um retângulo é a medida da superfície que ele ocupa, calculada multiplicando o comprimento pela largura (base × altura). O perímetro é a soma de todos os lados, ou seja, duas vezes a soma do comprimento com a largura. No problema, o terreno é um retângulo grande, e o galpão é um retângulo menor dentro dele; a área livre é a parte do terreno que sobra depois de descontar a área do galpão.

A área livre é a diferença entre a área total do terreno e a área do galpão: A_livre = A_terreno - A_galpão. Se o galpão tem lados x e x+2, sua área é x(x+2). Para achar o perímetro, precisamos primeiro descobrir x, resolvendo a equação que iguala a área do galpão ao valor obtido pela subtração. O perímetro então é 2(x + x+2) = 2(2x+2).

Esta questão exige montar a equação a partir da área livre e resolver uma equação do segundo grau para achar os lados do galpão, para então calcular o perímetro.

O que a questão dá

• lados do terreno: 22 m e 31 m

• área livre desejada: 619 m²

• um lado do galpão tem 2 m a mais que o outro

O que queremos: o perímetro do galpão

Passo 1 — Calcular a área total do terreno

Precisamos saber quanto espaço o terreno tem no total para depois subtrair a área livre e descobrir quanto o galpão ocupa.

Por que esta fórmula: A área de um retângulo é o produto de seus dois lados adjacentes.

De onde vem cada valor: $22$ = enunciado: lado do terreno · $31$ = enunciado: outro lado do terreno

Passo 2 — Descobrir a área do galpão

A área livre é o que sobra do terreno depois de construir o galpão. Então, subtraindo a área livre da área total, obtemos a área ocupada pelo galpão.

Por que esta fórmula: Área livre = área total - área do galpão, então área do galpão = área total - área livre.

De onde vem cada valor: $A_{terreno}$ = passo 1: 682 m² · $A_{livre}$ = enunciado: 619 m²

Passo 3 — Montar a equação para os lados do galpão

Sabemos a área do galpão, mas não os lados. O enunciado diz que um lado é 2 m maior que o outro, então representamos o lado menor por x e o maior por x+2. A área é o produto deles.

Por que esta fórmula: A área de um retângulo é base × altura, então x(x+2) deve ser igual à área que já calculamos.

De onde vem cada valor: $x$ = definição: lado menor do galpão · $x+2$ = definição: lado maior, 2 m a mais que x · $63$ = passo 2: área do galpão

Passo 4 — Resolver a equação do segundo grau

Precisamos achar o valor de x para conhecer os lados. A equação x(x+2)=63 é uma equação do 2º grau; vamos resolvê-la algebricamente.

Por que esta fórmula: Expandindo e igualando a zero, temos x² + 2x - 63 = 0. Podemos fatorar: (x+9)(x-7)=0, então x = -9 ou x = 7. Como medida não pode ser negativa, x = 7.

De onde vem cada valor: $x^{2}$ = passo 3: de x(x+2) · $2x$ = passo 3: de x(x+2) · $-63$ = passo 3: 63 movido para o outro lado · $9$ = constante: da fatoração de x^2 + 2x - 63 · $-7$ = constante: da fatoração de x^2 + 2x - 63

Passo 5 — Calcular o perímetro do galpão

Com os lados conhecidos, o perímetro é a soma de todos os lados, que é o que a questão pede.

Por que esta fórmula: Perímetro de retângulo = 2 × (base + altura). Aqui base = x+2 e altura = x.

De onde vem cada valor: $x$ = passo 4: 7 m · $x+2$ = passo 4: 9 m

Resposta: 32 m — alternativa D