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Questão de Matemática — Proporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais — VUNESP 2024

MatemáticaProporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais
Código
vu206287
Banca
VUNESP
Órgão
CM Itapeva (SP)
Ano
2024
Cargo
Enc Zel ( )
Em um depósito há frascos do produto A e frascos do produto B, no total de 200 frascos, de modo que a razão do número de frascos do produto A para o número de frascos do produto B é 23\frac{2}{3}. Após a venda de 30 frascos do produto A e de N frascos do produto B, a razão do número de frascos do produto A para o número de frascos do produto B passou a ser 12\frac{1}{2}. O número N de frascos vendidos do produto B foi
  1. A35.
  2. B30.
  3. C25.
  4. D20.
  5. E15.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 20.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a N = 20 frascos — alternativa D.

A ideia por trás

Razão é a comparação entre duas quantidades por meio de uma divisão: dizer que a razão entre A e B é 2/3 significa que, para cada 2 frascos de A, existem 3 frascos de B. Isso não informa quantos frascos há de cada um, apenas a proporção entre eles. Para descobrir as quantidades reais, usamos o total de frascos e uma constante de proporcionalidade.

Quando duas grandezas estão na razão a/b, podemos escrevê-las como a·k e b·k, onde k é a constante de proporcionalidade. A soma a·k + b·k = (a+b)·k deve igualar o total, o que permite achar k e, com ele, as quantidades iniciais. Depois de uma alteração (como uma venda), a nova razão é montada com os valores restantes, e a equação resultante é resolvida isolando a incógnita.

Esta questão exige aplicar a razão inicial para achar as quantidades de A e B, subtrair as vendas e montar a nova razão. O passo crítico é não confundir a razão com as quantidades absolutas.

O que a questão dá

  • total de frascos = 200

  • razão inicial A/B = 2/3

  • venda de 30 frascos de A

  • venda de N frascos de B

  • nova razão A/B = 1/2

O que queremos: o número N de frascos vendidos do produto B

Passo 1 — Escrever as quantidades com a constante k

A razão 2/3 não diz quantos frascos há de cada produto, só a relação entre eles. Para transformar essa relação em números reais, usamos a constante de proporcionalidade k: A = 2k e B = 3k. Assim, qualquer valor de k que respeite a razão serve, e o total de 200 frascos vai determinar qual k é o correto.

Por que esta fórmula: Se A/B = 2/3, então A = 2k e B = 3k, pois multiplicar ambos os termos da razão por k mantém a igualdade.

A=2k,B=3kA = 2k, \quad B = 3k

De onde vem cada valor: 22 = enunciado: razão inicial A/B = 2/3 · 33 = enunciado: razão inicial A/B = 2/3

NÃO CAIA NESSA!

Achar que A = 2 e B = 3 diretamente, esquecendo a constante k — isso daria um total de 5, não 200.

Passo 2 — Usar o total para achar k

Com A e B expressos em função de k, a soma deles deve ser o total de 200 frascos. Essa equação permite descobrir o valor de k, que é o mesmo para A e B.

Por que esta fórmula: A soma A + B = 2k + 3k = 5k deve igualar o total de 200 frascos. Isolando k, dividimos 200 por 5.

2k+3k=2002k + 3k = 200

De onde vem cada valor: 2k2k = passo 1: A = 2k · 3k3k = passo 1: B = 3k · 200200 = enunciado: total de frascos = 200

5k=2005k = 200
k=40k = \boxed{40}
NÃO CAIA NESSA!

Somar 2 + 3 = 5 e dividir 200 por 5, mas esquecer de multiplicar k pelos coeficientes depois — aqui k já é 40, e as quantidades vêm no próximo passo.

Passo 3 — Calcular as quantidades iniciais de A e B

Com k = 40, substituímos na expressão do passo 1 para obter quantos frascos havia de cada produto antes das vendas. Esses valores são a base para a próxima etapa.

Por que esta fórmula: A = 2k e B = 3k, com k já conhecido.

A=2×40,B=3×40A = 2 \times 40, \quad B = 3 \times 40

De onde vem cada valor: 22 = passo 1: coeficiente de A · 33 = passo 1: coeficiente de B · 4040 = passo 2: k = 40

A=80,B=120A = 80, \quad B = 120

A = 80 frascos, B = 120 frascos

NÃO CAIA NESSA!

Trocar os valores: A = 120 e B = 80, invertendo a razão.

Passo 4 — Subtrair as vendas de A e B

Depois das vendas, as quantidades mudam: saem 30 frascos de A e N frascos de B. Precisamos expressar os restantes em função de N para montar a nova razão.

Por que esta fórmula: O que resta é o valor inicial menos o que foi vendido.

Arest=80−30,Brest=120−NA_{rest} = 80 - 30, \quad B_{rest} = 120 - N

De onde vem cada valor: 8080 = passo 3: quantidade inicial de A · 3030 = enunciado: venda de 30 frascos de A · 120120 = passo 3: quantidade inicial de B · NN = enunciado: venda de N frascos de B

Arest=50,Brest=120−NA_{rest} = 50, \quad B_{rest} = 120 - N

A restante = 50 frascos, B restante = 120 - N frascos

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair as vendas e usar 80 e 120 na nova razão.

Passo 5 — Montar a nova razão e resolver para N

A nova razão entre os restantes é 1/2. Com os valores do passo 4, montamos uma equação e isolamos N, que é o que a questão pede.

Por que esta fórmula: A razão A_rest/B_rest = 1/2. Multiplicando em cruz (produto dos meios = produto dos extremos), obtemos uma equação linear em N.

50120−N=12\frac{50}{120 - N} = \frac{1}{2}

De onde vem cada valor: 5050 = passo 4: A restante · 120−N120 - N = passo 4: B restante · 1/21/2 = enunciado: nova razão A/B = 1/2

50×2=1×(120−N)50 \times 2 = 1 \times (120 - N)
N=20N = \boxed{20}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao isolar N: de 100 = 120 - N, subtrair 120 dos dois lados dá -20 = -N, e N = 20; quem esquece o sinal pode achar N = -20 ou N = 220.

Resposta: N = 20 frascos — alternativa D

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