Questão de Matemática — Sistemas Lineares — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 72 caixas — alternativa B.

A ideia por trás

Um sistema linear é um conjunto de equações que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo. Aqui, cada equação traduz uma condição do problema em linguagem matemática: a primeira fala da razão entre canetas antes da venda, a segunda fala da razão depois. Resolver o sistema é achar os valores de p e q que satisfazem as duas condições simultaneamente.

A razão entre duas quantidades é a divisão entre elas. Quando o enunciado diz que a razão entre azuis e vermelhas é 37/17, isso significa que o total de azuis dividido pelo total de vermelhas é igual a 37/17. Multiplicar cruzado transforma essa igualdade de frações em uma equação sem frações, que é mais fácil de manipular. A mesma ideia vale para a razão final, que é 2 (ou 2/1).

Esta questão pede para montar duas equações a partir das razões antes e depois da venda, formando um sistema linear. A solução desse sistema dá o número de caixas de cada tipo, e a soma é a resposta.

O que a questão dá

• caixa tipo P: 15 azuis e 15 vermelhas

• caixa tipo Q: 25 azuis e 5 vermelhas

• razão inicial azuis/vermelhas = 37/17

• venda de 17 caixas P e 25 caixas Q

• razão final azuis/vermelhas = 2

O que queremos: o número total de caixas recebidas (P + Q)

Passo 1 — Montar a equação da razão inicial

Precisamos traduzir a primeira informação do enunciado em uma equação. Chamando de p o número de caixas tipo P e q o número de caixas tipo Q, o total de canetas azuis é 15p + 25q (cada P tem 15 azuis, cada Q tem 25) e o total de vermelhas é 15p + 5q (cada P tem 15 vermelhas, cada Q tem 5). A razão entre esses totais é 37/17.

Por que esta fórmula: A razão entre azuis e vermelhas é a divisão do total de azuis pelo total de vermelhas. Igualamos essa divisão à fração dada no enunciado.

De onde vem cada valor: $15p$ = enunciado: cada caixa P tem 15 azuis e 15 vermelhas · $25q$ = enunciado: cada caixa Q tem 25 azuis · $5q$ = enunciado: cada caixa Q tem 5 vermelhas · $37/17$ = enunciado: razão inicial

Passo 2 — Simplificar a equação inicial

A equação com frações é difícil de trabalhar. Multiplicar cruzado elimina as frações e nos dá uma relação mais simples entre p e q.

Por que esta fórmula: Multiplicar cruzado é uma propriedade das proporções: se a/b = c/d, então a·d = b·c. Aqui, a = 15p+25q, b = 15p+5q, c = 37, d = 17.

De onde vem cada valor: $17$ = constante: denominador da fração 37/17 · $37$ = constante: numerador da fração 37/17 · $15p + 25q$ = passo 1: total de azuis · $15p + 5q$ = passo 1: total de vermelhas

Passo 3 — Isolar q em função de p

Com a equação simplificada, podemos rearranjar os termos para obter uma relação direta entre q e p. Isso será útil para substituir na segunda equação.

Por que esta fórmula: Vamos expandir os produtos e depois isolar q. Primeiro distribuímos: 255p + 425q = 555p + 185q. Depois passamos os termos com p para um lado e os com q para o outro.

De onde vem cada valor: $p$ = passo 2: coeficiente após simplificação · $q$ = passo 2: coeficiente após simplificação

Passo 4 — Montar a equação da razão após a venda

A segunda informação do enunciado é sobre a situação depois da venda. Precisamos expressar os totais de canetas restantes em função de p e q, subtraindo as caixas vendidas.

Por que esta fórmula: Após vender 17 caixas P, restam p-17 caixas P; após vender 25 caixas Q, restam q-25 caixas Q. O total de azuis restante é 15(p-17) + 25(q-25) e o de vermelhas é 15(p-17) + 5(q-25). A razão entre eles é 2.

De onde vem cada valor: $p - 17$ = enunciado: venda de 17 caixas P · $q - 25$ = enunciado: venda de 25 caixas Q · $15$ = enunciado: canetas azuis e vermelhas por caixa P · $25$ = enunciado: canetas azuis por caixa Q · $5$ = enunciado: canetas vermelhas por caixa Q · $2$ = enunciado: razão final

Passo 5 — Simplificar a equação da venda

Assim como na primeira equação, precisamos eliminar a fração e simplificar para obter uma relação linear simples entre p e q.

Por que esta fórmula: Multiplicamos cruzado: o numerador é igual a 2 vezes o denominador. Depois expandimos e simplificamos.

De onde vem cada valor: $15(p - 17) + 25(q - 25)$ = passo 4: total de azuis restante · $15(p - 17) + 5(q - 25)$ = passo 4: total de vermelhas restante · $2$ = enunciado: razão final · $255$ = constante: 15 × 17 · $625$ = constante: 25 × 25 · $510$ = constante: 2 × 15 × 17 · $250$ = constante: 2 × 5 × 25

Passo 6 — Obter a segunda relação entre p e q

Depois de simplificar, chegamos a uma equação linear simples que relaciona p e q. Essa é a segunda equação do sistema.

Por que esta fórmula: Juntando os termos semelhantes e isolando, obtemos q - p = 8.

De onde vem cada valor: $q$ = passo 5: coeficiente após simplificação · $p$ = passo 5: coeficiente após simplificação

Passo 7 — Resolver o sistema para achar p

Agora temos duas equações com duas incógnitas. Substituímos a expressão de q da primeira equação na segunda para encontrar p.

Por que esta fórmula: Da primeira equação, q = (5/4)p. Substituímos na segunda: (5/4)p - p = 8. Isso dá (1/4)p = 8, então p = 32.

De onde vem cada valor: $\frac{5}{4}p$ = passo 3: q em função de p · $8$ = passo 6: segunda equação

Passo 8 — Calcular q e o total de caixas

Com p conhecido, usamos a primeira relação para achar q e depois somamos para obter o total de caixas recebidas.

Por que esta fórmula: q = (5/4)p = (5/4)·32 = 40. O total é p + q = 32 + 40 = 72.

De onde vem cada valor: $\frac{5}{4}$ = passo 3: relação entre q e p · $p$ = passo 7: 32

Resposta: 72 caixas — alternativa B