Questão de Matemática — Teorema de Tales — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 35 cm — nenhuma alternativa corresponde, verifique os dados..

A ideia por trás

O Teorema de Tales trata de feixes de retas paralelas cortados por transversais: quando três ou mais paralelas são atravessadas por duas retas, os segmentos que elas recortam em uma transversal são proporcionais aos segmentos correspondentes na outra. Na prática, isso permite descobrir medidas desconhecidas comparando razões entre segmentos alinhados.

Se as paralelas são r, s e t, e as transversais são cortadas nos pontos A, B, C e D, E, F, então vale AB/DE = BC/EF = AC/DF. Cada razão compara um trecho de uma transversal com o trecho correspondente na outra, sempre entre as mesmas duas paralelas. A proporção só vale se os segmentos estiverem na mesma ordem e entre as mesmas paralelas.

Esta questão pede o perímetro de um quadrilátero formado por pontos nas duas transversais. Para isso, precisamos descobrir os lados que faltam usando a proporcionalidade de Tales e a informação extra sobre EF e AC.

O que a questão dá

• AB = 3 cm

• AD = 6 cm

• DE = 4 cm

• CF = 15,5 cm

• EF é 1,5 cm menor que AC

O que queremos: o perímetro do quadrilátero ACFD

Passo 1 — Descobrir o segmento BC

Na primeira transversal, os pontos A, B e C estão em ordem, então AC = AB + BC. Como conhecemos AD = 6 cm e AB = 3 cm, e AD é a distância entre as paralelas r e s, que corresponde a AB + BC, podemos achar BC.

Por que esta fórmula: AD é a distância entre as paralelas r e s, e na primeira transversal essa distância é AB + BC, pois B está entre A e C. Então subtraímos AB de AD.

De onde vem cada valor: $AD$ = enunciado: 6 cm · $AB$ = enunciado: 3 cm

Passo 2 — Aplicar Tales para achar EF

Com AB, BC e DE conhecidos, podemos usar a proporção entre os segmentos correspondentes nas duas transversais. O Teorema de Tales garante que AB/DE = BC/EF, então isolamos EF.

Por que esta fórmula: A proporção de Tales compara segmentos entre as mesmas paralelas: AB e DE estão entre r e s, BC e EF estão entre s e t. Como conhecemos três deles, resolvemos para EF.

De onde vem cada valor: $AB$ = enunciado: 3 cm · $DE$ = enunciado: 4 cm · $BC$ = passo 1: 3 cm

Passo 3 — Achar AC usando a relação com EF

O enunciado diz que EF é 1,5 cm menor que AC, então AC = EF + 1,5. Isso nos dá o comprimento do lado AC do quadrilátero.

Por que esta fórmula: A frase 'EF é 1,5 cm menor que AC' significa que EF = AC - 1,5, então AC = EF + 1,5.

De onde vem cada valor: $EF$ = passo 2: 4 cm · $1{,}5$ = enunciado: EF é 1,5 cm menor que AC

Passo 4 — Achar o lado DF

O quadrilátero ACFD tem lados AC, CF, FD e DA. Já temos AC, CF e DA; falta FD. Na segunda transversal, os pontos D, E, F estão em ordem, então DF = DE + EF.

Por que esta fórmula: DF é a distância entre as paralelas r e t na segunda transversal, que é a soma dos trechos DE e EF.

De onde vem cada valor: $DE$ = enunciado: 4 cm · $EF$ = passo 2: 4 cm

Passo 5 — Calcular o perímetro do quadrilátero

Perímetro é a soma de todos os lados. O quadrilátero ACFD tem lados AC, CF, FD e DA, todos já conhecidos.

Por que esta fórmula: Perímetro de um polígono é a soma dos comprimentos de seus lados.

De onde vem cada valor: $AC$ = passo 3: 5,5 cm · $CF$ = enunciado: 15,5 cm · $FD$ = passo 4: 8 cm · $DA$ = enunciado: 6 cm

Resposta: 35 cm — nenhuma alternativa corresponde, verifique os dados.