Questão de Matemática — Outras Equações — VUNESP 2024

Equação do 2º grau: modelando problemas de compra

Gabarito: letra C. A equação correta é $\dfrac{7,8}{x} - \dfrac{8}{x+8} = 0,25$, pois ela expressa que o preço unitário original (R$ 7,80 dividido por $x$ pacotes) supera o preço unitário com desconto (R$ 8,00 dividido por $x+8$ pacotes) em exatamente R$ 0,25 — a redução de 25 centavos por pacote. As demais alternativas trocam os valores ou os sinais, invertendo a relação entre as grandezas.

O problema descreve uma situação clássica de modelagem algébrica: relacionar quantidade, preço unitário e valor total. Quando Laura gasta R$ 7,80 comprando $x$ pacotes, o preço unitário é a razão entre o total gasto e a quantidade: $\dfrac{7,8}{x}$ reais por pacote. Se cada pacote custasse 25 centavos a menos, o novo preço unitário seria $\dfrac{7,8}{x} - 0,25$. Porém, o enunciado também informa que, com esse desconto, Laura colocaria mais 20 centavos (totalizando R$ 8,00) e levaria 8 pacotes a mais, ou seja, $x+8$ pacotes. Logo, o novo preço unitário também pode ser escrito como $\dfrac{8}{x+8}$. Igualando as duas expressões para o preço com desconto, obtemos a equação que modela o problema.

Vamos desenvolver o raciocínio passo a passo. O preço unitário original é $p = \dfrac{7,8}{x}$. Com o desconto de R$ 0,25, o preço unitário passa a ser $p - 0,25$. Com o acréscimo de R$ 0,20 no total (R$ 7,80 + R$ 0,20 = R$ 8,00) e a compra de 8 pacotes adicionais ($x+8$ pacotes), o novo preço unitário também é $\dfrac{8}{x+8}$. Como as duas expressões representam o mesmo preço unitário com desconto, temos:

Rearranjando para isolar a diferença de preços, chegamos a:

Essa é exatamente a alternativa C. A equação captura a essência do problema: a diferença entre o preço unitário original e o preço unitário com desconto é de R$ 0,25.

Para fixar o entendimento, vejamos um exemplo numérico. Suponha que Laura tenha comprado 12 pacotes ($x = 12$). O preço unitário original seria $\dfrac{7,8}{12} = 0,65$ reais. Com o desconto de R$ 0,25, o preço unitário seria R$ 0,40. Com R$ 8,00, ela compraria $\dfrac{8}{0,40} = 20$ pacotes, que é exatamente $x + 8 = 20$. A equação se verifica: $0,65 - 0,40 = 0,25$. Esse exemplo mostra como a equação modela corretamente a situação.

A principal armadilha da banca está em inverter os termos da equação ou usar valores incorretos. Algumas alternativas colocam o R$ 0,20 como diferença de preço unitário, quando ele é o acréscimo no total gasto. Outras usam o R$ 8,00 como preço unitário original, quando ele é o novo total. A chave é identificar corretamente cada grandeza: $x$ é a quantidade original, $x+8$ é a quantidade com desconto, R$ 7,80 é o total original, R$ 8,00 é o novo total, e R$ 0,25 é a diferença entre os preços unitários.

Guarde essa estrutura: quando um problema envolve "comprar mais com menos", a equação quase sempre iguala a diferença entre os preços unitários à variação de preço. É exatamente esse critério que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A equação $\dfrac{7,8}{x} - 0,25 = 0,25(x+8)$ mistura conceitos de forma incorreta. O lado esquerdo representa o preço unitário com desconto, mas o lado direito multiplica R$ 0,25 pela quantidade $x+8$, o que não corresponde a nenhuma grandeza do problema. O valor R$ 0,25 é a diferença entre preços unitários, não um fator multiplicativo da quantidade. Além disso, o termo $0,25(x+8)$ não tem significado físico aqui.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A equação $\dfrac{7,8}{x} - \dfrac{7,8}{x+8} = 0,2$ usa o valor errado na diferença. Ela calcula a diferença entre o preço unitário original e o preço unitário calculado com o total original (R$ 7,80) dividido pela nova quantidade ($x+8$). Porém, com o desconto, o total gasto é R$ 8,00, não R$ 7,80. Além disso, a diferença entre os preços unitários é R$ 0,25, não R$ 0,20. O R$ 0,20 é o acréscimo no total, não a diferença de preço unitário.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A equação $\dfrac{7,8}{x} - \dfrac{8}{x+8} = 0,25$ modela corretamente o problema. O termo $\dfrac{7,8}{x}$ é o preço unitário original, $\dfrac{8}{x+8}$ é o preço unitário com desconto (R$ 8,00 dividido pela nova quantidade), e a diferença entre eles é exatamente R$ 0,25, a redução por pacote. Essa equação captura todas as informações do enunciado de forma consistente.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A equação $\dfrac{8}{x+8} - \dfrac{7,8}{x} = 0,25$ inverte a ordem da subtração. Ela calcula o preço unitário com desconto menos o preço unitário original, o que resultaria em um valor negativo, já que o preço com desconto é menor. A diferença correta é o preço original menos o preço com desconto, resultando em R$ 0,25 positivo. A inversão dos termos torna a equação incorreta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A equação $\dfrac{7,8}{x+8} - \dfrac{7,8}{x} = 0,2$ usa tanto o total errado quanto a diferença errada. Ela divide o total original (R$ 7,80) pela nova quantidade ($x+8$) no primeiro termo, mas o correto seria usar o novo total (R$ 8,00). Além disso, a diferença entre os preços unitários é R$ 0,25, não R$ 0,20. O R$ 0,20 é o acréscimo no total gasto, não a diferença de preço unitário.

Gabarito: letra C