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Questão de Matemática — Área e Perímetro de Um Polígono Qualquer — VUNESP 2024

MatemáticaÁrea e Perímetro de Um Polígono Qualquer
Código
vu206323
Banca
VUNESP
Órgão
CM Jaboticabal
Ano
2024
Cargo
Ag (CM Jabo)
Na figura, JABOTI é um hexágono com cinco ângulos retos. As medidas JA = 2x – 2, AB =2, B0 = x + 1 0T = x + 2 estão todas em centímetros.   Sabendo-se que o perímetro desse hexágono é igual a 62 cm, a medida de BI‾\overline{\text{BI}}, em centímetros, é igual aImagem associada para resolução da questão
  1. A15.
  2. B15,5.
  3. C16.
  4. D16,5.
  5. E18.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 15.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 12,2 cm (nenhuma alternativa; verificar interpretação da figura).

A ideia por trás

O perímetro de um polígono é a soma das medidas de todos os seus lados. Para um hexágono, que tem seis lados, basta somar as seis medidas. Quando o polígono tem ângulos retos, ele se parece com um retângulo com cantos cortados, e isso cria lados paralelos que podem ter medidas relacionadas.

Num hexágono com cinco ângulos retos, o sexto ângulo mede 270°, o que faz com que os lados opostos sejam paralelos. Por causa desse paralelismo, alguns lados opostos têm a mesma medida, permitindo expressar todos os lados em função de x e montar a equação do perímetro. A soma dos ângulos internos de um hexágono é 720°, e com cinco ângulos de 90° o sexto é 270°.

Esta questão cobra o uso do perímetro para descobrir o valor de x e, em seguida, a medida de um lado específico. A chave é identificar quais lados são iguais devido ao paralelismo causado pelos ângulos retos.

O que a questão dá

  • JA = 2x - 2 cm

  • AB = 2 cm

  • BO = x + 1 cm

  • OT = x + 2 cm

  • perímetro = 62 cm

O que queremos: a medida do lado BI, em centímetros

Passo 1 — Descobrir o sexto ângulo do hexágono

Para entender a geometria da figura, precisamos saber o ângulo que falta. A soma dos ângulos internos de um hexágono é fixa, e com cinco ângulos retos o sexto é o que sobra.

Por que esta fórmula: A soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é (n-2)×180°. Para n=6, dá 720°. Subtraindo os cinco ângulos de 90°, obtemos o sexto.

sexto aˆngulo=720°−5×90°\text{sexto ângulo} = 720° - 5 \times 90°

De onde vem cada valor: 720°720° = definição: soma dos ângulos internos de um hexágono (6-2)×180° · 5×90°5 \times 90° = enunciado: cinco ângulos retos

sexto aˆngulo=720°−450°=270 ∘\text{sexto ângulo} = 720° - 450° = \boxed{270\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a soma é 720° e usar 360°, o que daria ângulo negativo.

Passo 2 — Identificar os lados opostos iguais

Com o ângulo de 270°, a figura tem lados opostos paralelos, o que permite igualar alguns lados. Isso é essencial para expressar todos os lados em função de x.

Por que esta fórmula: Não há fórmula; é uma propriedade geométrica: em um polígono com ângulos retos e um ângulo de 270°, os lados opostos são paralelos e, por isso, têm a mesma medida. Observando a figura, vemos que IJ é oposto a BO, e TI é oposto a AB.

IJ = BO = x + 1; TI = AB = 2

NÃO CAIA NESSA!

Confundir quais lados são opostos; por exemplo, achar que JA é igual a OT, mas eles não são iguais.

Passo 3 — Montar a equação do perímetro

Agora que todos os lados estão expressos em função de x, podemos somá-los e igualar ao perímetro dado, 62 cm. Isso gera uma equação que permite achar x.

Por que esta fórmula: O perímetro é a soma de todos os lados. Substituímos cada lado pela expressão correspondente.

P=JA+AB+BO+OT+TI+IJP = JA + AB + BO + OT + TI + IJ

De onde vem cada valor: JAJA = enunciado: 2x - 2 · ABAB = enunciado: 2 · BOBO = enunciado: x + 1 · OTOT = enunciado: x + 2 · TITI = passo 2: 2 · IJIJ = passo 2: x + 1

62=(2x−2)+2+(x+1)+(x+2)+2+(x+1)62 = (2x - 2) + 2 + (x + 1) + (x + 2) + 2 + (x + 1)
62=5 x+662 = \boxed{5\ \text{x} + 6}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar algum lado, ou usar valores errados para TI e IJ.

Passo 4 — Resolver a equação para achar x

Com a equação do perímetro, isolamos x para descobrir o valor que torna o perímetro 62 cm. Esse valor será usado para calcular o lado pedido.

Por que esta fórmula: É uma equação linear simples: subtraímos 6 dos dois lados e dividimos por 5.

x=62−65x = \frac{62 - 6}{5}

De onde vem cada valor: 6262 = enunciado: perímetro · 66 = passo 3: soma das constantes · 55 = passo 3: coeficiente de x

x=565x = \frac{56}{5}
x=11,2x = \boxed{11{,}2}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma das constantes, por exemplo, esquecer o +2 do lado TI.

Passo 5 — Calcular a medida do lado BI

A pergunta pede BI, que na figura é o mesmo que o lado BO. Com o valor de x, substituímos na expressão de BO.

Por que esta fórmula: BI é o lado que liga os vértices B e O, ou seja, é o lado BO. Sua medida é x + 1.

BI=x+1BI = x + 1

De onde vem cada valor: xx = passo 4: 11,2 · 11 = enunciado: BO = x + 1

BI=11,2+1=12,2 cmBI = 11{,}2 + 1 = \boxed{12{,}2\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir BI com outro lado, como OT ou JA.

Resposta: 12,2 cm (nenhuma alternativa; verificar interpretação da figura)

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