GabaritoE — 9.
Gabarito: letra E — a conta chega a n = 9, alternativa E.
Divisibilidade é a propriedade de um número inteiro ser dividido por outro sem deixar resto. Dizemos que a é divisível por b quando existe um inteiro k tal que a = k · b. Para números como 2, 3, 5 e 9 existem critérios rápidos baseados nos algarismos, mas para o 17 não há um critério simples; o caminho seguro é testar os valores possíveis ou usar a decomposição do número.
A relação fundamental é a = b · q + r, com 0 ≤ r < b. Se r = 0, então b divide a. Para testar a divisibilidade por 17, podemos escrever o número como uma soma de parcelas e verificar se cada parcela é múltipla de 17, ou simplesmente realizar a divisão. Como o número tem um algarismo desconhecido, a estratégia é substituir n por cada alternativa e verificar o resto.
Esta questão cobra a aplicação direta do conceito de divisibilidade: precisamos encontrar o algarismo que torna o número múltiplo de 17. Como não há critério específico, vamos testar as alternativas uma a uma, calculando o resto da divisão.
número de sete dígitos: 10781n1
divisibilidade por 17
alternativas: n = 3, 5, 6, 7, 9
O que queremos: o valor de n que torna o número 10781n1 divisível por 17
Para testar a divisibilidade, precisamos expressar o número de forma que possamos variar n. O número 10781n1 tem o algarismo n na posição das dezenas, então ele pode ser escrito como 1078100 + 10n + 1.
Por que esta fórmula: A decomposição em potências de 10 é a base do sistema decimal: cada posição representa uma potência de 10. Aqui, o n está na casa das dezenas, então contribui com 10n.
De onde vem cada valor: = enunciado: os primeiros seis dígitos 107810 formam 1078100 · = enunciado: o dígito n está na casa das dezenas · = enunciado: o último dígito é 1
Esquecer que o n está na casa das dezenas e escrever apenas n, o que daria um número errado.
Para que o número total seja divisível por 17, a soma 1078101 + 10n deve ser múltipla de 17. Como 10n é pequeno, primeiro encontramos o resto de 1078101 na divisão por 17.
Por que esta fórmula: A divisão euclidiana nos dá o resto. Dividindo 1078101 por 17, obtemos quociente e resto.
De onde vem cada valor: = passo 1: 1078100 + 1 · = enunciado: divisor
Errar a divisão longa; conferir com multiplicação: 17 × 63417 = 1078089, e 1078101 - 1078089 = 12.
Sabemos que 1078101 deixa resto 12. Para que 1078101 + 10n seja divisível por 17, o resto de 10n deve compensar: 12 + 10n deve ser múltiplo de 17.
Por que esta fórmula: Se a = 17q + r, então a + b é divisível por 17 se e somente se r + b for divisível por 17. Aqui b = 10n.
De onde vem cada valor: = passo 2: resto de 1078101 · = passo 1: contribuição do dígito n
Esquecer que o resto pode ser negativo; aqui 12 + 10n = 17k, então 10n = 17k - 12.
Agora temos uma condição simples: 10n deve deixar resto 5 na divisão por 17. Testamos cada alternativa para ver qual satisfaz.
Por que esta fórmula: A congruência 10n ≡ 5 (mod 17) significa que 10n - 5 é múltiplo de 17. Testamos n = 3, 5, 6, 7, 9.
De onde vem cada valor: = passo 3 · = passo 3: resto necessário
Não calcular o resto corretamente; por exemplo, 90 ÷ 17 = 5 resto 5, então 90 mod 17 = 5.
Resposta: n = 9, alternativa E
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