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Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — VUNESP 2024

MatemáticaDivisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC)
Código
vu206345
Banca
VUNESP
Órgão
CM Jaboticabal
Ano
2024
Cargo
Ass (CM Jabo)
Uma gráfica empacotará 850 pastas azuis e 525 pastas vermelhas, de modo que cada pacote fique com o mesmo número de pastas, sendo esse número o maior possível. Sabendo que todas essas pastas serão empacotadas sem que ocorram sobras e que cada pacote só poderá conter pastas de uma mesma cor, então o número total de pacotes feitos será:
  1. A40
  2. B45
  3. C50
  4. D55
  5. E60
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GabaritoD — 55

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 55 pacotes — alternativa D.

A ideia por trás

O máximo divisor comum (MDC) entre dois números é o maior número que divide ambos exatamente, sem deixar resto. Ele aparece em problemas de dividir quantidades em grupos iguais do maior tamanho possível, como empacotar objetos, cortar cordas em pedaços iguais ou dividir terrenos em lotes iguais.

Para achar o MDC, decompomos cada número em fatores primos e multiplicamos os fatores comuns com o menor expoente. Por exemplo, se 850 = 2 × 5² × 17 e 525 = 3 × 5² × 7, o único fator comum é 5², então MDC = 25. Isso significa que o maior número de pastas por pacote que divide tanto 850 quanto 525 é 25.

Aqui, o enunciado pede o maior número de pastas por pacote que sirva para as duas cores sem sobras — exatamente o MDC. Depois de achá-lo, dividimos cada total por ele para saber quantos pacotes de cada cor e somamos.

O que a questão dá

  • pastas azuis = 850

  • pastas vermelhas = 525

  • cada pacote com o mesmo número de pastas, o maior possível

  • sem sobras e pacotes de uma única cor

O que queremos: o número total de pacotes formados

Passo 1 — Decompor 850 em fatores primos

Para encontrar o MDC, precisamos ver quais fatores primos os dois números têm em comum. Começamos fatorando o primeiro número.

Por que esta fórmula: A decomposição em fatores primos é a forma de escrever um número como produto de primos, o que permite comparar os fatores com os de outro número.

850=2×52×17850 = 2 \times 5^{2} \times 17

De onde vem cada valor: 850850 = enunciado: pastas azuis · 22 = constante: fator primo de 850 · 525^{2} = constante: fator primo de 850 · 1717 = constante: fator primo de 850

850=2×5×5×17850 = 2 \times 5 \times 5 \times 17
850=2 ×52×17850 = \boxed{2\ \times 5^{2} \times 17}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o fator 17 ou escrever 5³ em vez de 5².

Passo 2 — Decompor 525 em fatores primos

Precisamos do mesmo tipo de decomposição para o segundo número, para comparar os fatores comuns.

Por que esta fórmula: A decomposição em fatores primos de 525 revela quais primos ele compartilha com 850.

525=3×52×7525 = 3 \times 5^{2} \times 7

De onde vem cada valor: 525525 = enunciado: pastas vermelhas · 33 = constante: fator primo de 525 · 525^{2} = constante: fator primo de 525 · 77 = constante: fator primo de 525

525=3×5×5×7525 = 3 \times 5 \times 5 \times 7
525=3 ×52×7525 = \boxed{3\ \times 5^{2} \times 7}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir 525 com 5³ × 7, mas 5³ = 125 e 125 × 7 = 875, que é maior que 525.

Passo 3 — Multiplicar os fatores comuns

O MDC é formado pelos fatores primos que aparecem nas duas decomposições, com o menor expoente. Aqui, o único fator comum é 5².

Por que esta fórmula: O MDC é o produto dos fatores comuns com os menores expoentes. Como 5² é o único fator comum, o MDC é 5².

MDC=52MDC = 5^{2}

De onde vem cada valor: 525^{2} = passo 1 e passo 2: fator comum

MDC=5×5MDC = 5 \times 5
MDC=25MDC = \boxed{25}
NÃO CAIA NESSA!

Incluir fatores que não são comuns, como 2, 3, 7 ou 17, o que daria um MDC errado.

Passo 4 — Calcular os pacotes de cada cor

Com o MDC = 25, sabemos que cada pacote terá 25 pastas. Agora dividimos o total de cada cor por 25 para saber quantos pacotes de cada cor serão formados.

Por que esta fórmula: Se cada pacote tem 25 pastas, o número de pacotes é o total dividido por 25.

pacotesazuis=85025,pacotesvermelhas=52525pacotes_{azuis} = \frac{850}{25}, \quad pacotes_{vermelhas} = \frac{525}{25}

De onde vem cada valor: 850850 = enunciado: pastas azuis · 525525 = enunciado: pastas vermelhas · 2525 = passo 3: MDC

pacotesazuis=85025=34,pacotesvermelhas=52525=21pacotes_{azuis} = \frac{850}{25} = 34, \quad pacotes_{vermelhas} = \frac{525}{25} = 21

pacotesazuispacotes_{azuis} = 34 pacotes azuis e 21 pacotes vermelhos

NÃO CAIA NESSA!

Dividir o total de uma cor pelo total da outra, ou usar o MDC como número de pacotes em vez de pastas por pacote.

Passo 5 — Somar os pacotes das duas cores

O problema pede o número total de pacotes, então somamos os pacotes de cada cor.

Por que esta fórmula: O total é a soma dos pacotes azuis e vermelhos.

total=34+21total = 34 + 21

De onde vem cada valor: 3434 = passo 4: pacotes azuis · 2121 = passo 4: pacotes vermelhos

total=34+21=55 pacotestotal = 34 + 21 = \boxed{55\ \text{pacotes}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar e responder apenas 34 ou 21.

Resposta: 55 pacotes — alternativa D

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