Questão de Matemática — Equações de Primeiro Grau — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 20 salas alugadas — alternativa E.

A ideia por trás

Uma equação do primeiro grau é uma igualdade com uma incógnita que aparece elevada à primeira potência. Resolver essa equação é descobrir qual número, colocado no lugar da incógnita, torna a igualdade verdadeira. Para isso, usamos operações que mantêm a igualdade: somar, subtrair, multiplicar ou dividir ambos os lados por um mesmo número (desde que não seja zero).

Neste problema, a incógnita é o número de salas por andar, que chamamos de x. Como o número de andares é o dobro do número de salas por andar, temos 2x andares. O total de salas do prédio é o produto do número de andares pelo número de salas por andar: 2x · x = 2x². A equação que modela o problema é montada somando as salas não alugadas dos dois últimos andares com as dos três primeiros, igualando a 12.

Esta questão cobra a montagem da equação a partir das relações do enunciado e a resolução passo a passo. O passo final é subtrair o total de não alugadas do total de salas para achar as alugadas.

O que a questão dá

• número de andares = 2 × salas por andar

• nos 2 últimos andares: 3 salas não alugadas por andar

• nos 3 primeiros andares: metade das salas não alugadas

• total de salas não alugadas = 12

O que queremos: o número de salas alugadas

Passo 1 — Definir a incógnita e montar a equação

Precisamos traduzir o texto em uma equação. A incógnita é o número de salas por andar, que chamamos de x. O número de andares é o dobro, então 2x. As salas não alugadas são: 2 andares × 3 salas = 6, mais 3 andares × metade das salas = 3·(x/2). Somando tudo, igualamos a 12.

Por que esta fórmula: A equação 6 + 3x/2 = 12 representa exatamente o total de salas não alugadas: 6 dos dois últimos andares mais 3x/2 dos três primeiros.

De onde vem cada valor: $6$ = constante: 2 andares × 3 salas não alugadas · $\frac{3x}{2}$ = enunciado: 3 andares × metade das salas por andar · $12$ = enunciado: total de salas não alugadas

Passo 2 — Isolar o termo com x

Para resolver a equação, precisamos deixar a incógnita sozinha de um lado. Subtraímos 6 dos dois lados para eliminar o termo constante do lado esquerdo.

Por que esta fórmula: Subtrair o mesmo número dos dois lados mantém a igualdade. Assim, 6 + 3x/2 - 6 = 12 - 6, resultando em 3x/2 = 6.

De onde vem cada valor: $6$ = passo 1: termo constante · $12$ = passo 1: total de não alugadas

Passo 3 — Multiplicar por 2 para eliminar o denominador

A equação tem uma fração com denominador 2. Multiplicar ambos os lados por 2 elimina o denominador, simplificando a equação.

Por que esta fórmula: Multiplicar por 2 dos dois lados mantém a igualdade: 2 · (3x/2) = 3x e 2 · 6 = 12.

De onde vem cada valor: $3x$ = passo 2: 3x/2 multiplicado por 2 · $12$ = passo 2: 6 multiplicado por 2

Passo 4 — Dividir por 3 para achar x

Agora temos 3x = 12. Para isolar x, dividimos ambos os lados por 3, pois 3x/3 = x e 12/3 = 4.

Por que esta fórmula: Dividir por 3 dos dois lados mantém a igualdade e resolve a equação.

De onde vem cada valor: $12$ = passo 3: 3x = 12 · $3$ = constante: coeficiente de x

Passo 5 — Calcular o total de salas do prédio

Com x = 4, sabemos que cada andar tem 4 salas. O número de andares é 2x = 8. O total de salas é o produto: 8 andares × 4 salas = 32.

Por que esta fórmula: O total de salas é o número de andares vezes o número de salas por andar.

De onde vem cada valor: $2x$ = passo 1: número de andares · $x$ = passo 4: salas por andar

Passo 6 — Subtrair as não alugadas para achar as alugadas

O problema pede o número de salas alugadas. Já temos o total (32) e sabemos que 12 não foram alugadas. Subtraindo, obtemos as alugadas.

Por que esta fórmula: Salas alugadas = total - não alugadas.

De onde vem cada valor: $Total$ = passo 5: 32 salas · $12$ = enunciado: total de não alugadas

Resposta: 20 salas alugadas — alternativa E