Questão de Matemática — Sistemas Lineares — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a B = 40 documentos — alternativa E.

A ideia por trás

Um sistema linear é um conjunto de equações que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo. Cada equação é uma frase do problema traduzida para a linguagem da matemática, e as incógnitas (A, B, C) são os valores que queremos descobrir. Resolver o sistema é encontrar os números que satisfazem todas as equações de uma vez.

A ideia central é que cada informação do enunciado vira uma equação. Por exemplo, 'total de 165' vira A + B + C = 165. Quando há uma transferência, é preciso atualizar os dois lados: o que sai de um lugar entra no outro. A relação entre as incógnitas é dada por essas equações, e podemos combinar umas com as outras para ir isolando os valores.

Esta questão cobra a montagem correta do sistema a partir das três frases do enunciado. O ponto mais delicado é a equação da transferência, que exige considerar o estado final das duas gavetas, não o inicial.

O que a questão dá

• total de documentos = 165

• transferência de 10 documentos de A para B

• C tem 5 documentos a mais que A

O que queremos: o número de documentos que havia inicialmente na gaveta B

Passo 1 — Montar a equação do total

A primeira informação é a mais direta: somando os documentos das três gavetas temos 165. Isso já nos dá uma equação com as três incógnitas.

Por que esta fórmula: É a tradução literal de 'totalizando 165 documentos'.

De onde vem cada valor: $A$ = enunciado: gaveta A · $B$ = enunciado: gaveta B · $C$ = enunciado: gaveta C · $165$ = enunciado: total de documentos

Passo 2 — Montar a equação da transferência

A segunda informação descreve uma mudança: tiram 10 de A e colocam em B. Para escrever a equação, precisamos pensar no estado final de cada gaveta, não no inicial.

Por que esta fórmula: Depois da transferência, A fica com A - 10 e B fica com B + 10. Como o enunciado diz que elas ficam iguais, igualamos essas duas expressões.

De onde vem cada valor: $A - 10$ = enunciado: retirados 10 da gaveta A · $B + 10$ = enunciado: colocados 10 na gaveta B

Passo 3 — Simplificar a equação da transferência

Com a equação A - 10 = B + 10, podemos rearranjar os termos para deixar as incógnitas de um lado e os números do outro. Isso facilita as substituições futuras.

Por que esta fórmula: Somamos 10 dos dois lados para eliminar o -10 do lado esquerdo, obtendo A = B + 20. Depois subtraímos B dos dois lados para isolar a diferença.

De onde vem cada valor: $A - B$ = passo 2: A - 10 = B + 10 · $20$ = passo 2: 10 + 10

Passo 4 — Montar a equação da relação entre C e A

A terceira informação relaciona C com A. Isso nos permite substituir C na primeira equação, reduzindo o número de incógnitas.

Por que esta fórmula: É a tradução direta de 'C continha 5 documentos a mais do que A'.

De onde vem cada valor: $C$ = enunciado: gaveta C · $A + 5$ = enunciado: 5 a mais que A

Passo 5 — Substituir C na equação do total

Com C = A + 5, podemos trocar C na primeira equação. Assim, ficamos com uma equação apenas com A e B.

Por que esta fórmula: Substituímos C por A + 5 na equação A + B + C = 165 e simplificamos os termos com A.

De onde vem cada valor: $2A$ = passo 1: A + A (de C = A + 5) · $B$ = passo 1: B · $160$ = passo 1: 165 - 5

Passo 6 — Isolar B na equação da transferência

Precisamos de uma expressão para B em função de A para substituir na equação 2A + B = 160. A equação A - B = 20 já nos dá isso.

Por que esta fórmula: Subtraímos A dos dois lados e multiplicamos por -1 para isolar B.

De onde vem cada valor: $A - 20$ = passo 3: A - B = 20

Passo 7 — Substituir B e achar A

Agora temos duas equações com A e B. Substituindo B = A - 20 em 2A + B = 160, ficamos com uma equação só com A, que podemos resolver.

Por que esta fórmula: Substituímos B na equação e resolvemos para A: 2A + (A - 20) = 160 → 3A = 180 → A = 60.

De onde vem cada valor: $3A$ = passo 5: 2A + A · $180$ = passo 5: 160 + 20

Passo 8 — Calcular B

Com A = 60, usamos a relação B = A - 20 para encontrar o valor de B, que é o que a questão pede.

Por que esta fórmula: Substituímos A na expressão do passo 6.

De onde vem cada valor: $60$ = passo 7: A = 60 · $20$ = passo 6: B = A - 20

Resposta: B = 40 documentos — alternativa E