Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Equações de Primeiro Grau — VUNESP 2024

MatemáticaEquações de Primeiro Grau
Código
vu206352
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Santo André
Ano
2024
Cargo
Ag (Pref Sto André)

O Tour de France é uma competição anual de ciclismo realizada na França. Considerando um grupo de 500 ciclistas, no fim de 2018, alguns já tinham participado uma única vez do Tour de France, e os demais nunca participaram. No fim de 2021, entre os que já tinham participado até o fim de 2018, 20% participaram mais duas vezes nesse Tour, 35% participaram mais uma vez, e os demais não voltaram a participar. Considerando os que nunca tinham participado até o fim de 2018, 30 participaram uma primeira e única vez, 25% participaram em 2019 e 2020, e os demais continuaram sem participar dessa competição. Se no fim de 2021 a soma de todas as participações no Tour feitas por esses ciclistas era igual a 555, o número desses ciclistas que já tinham participado do Tour até o final de 2018 era

  1. A180.
  2. B200.
  3. C220.
  4. D240.
  5. E260.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 220.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 220 ciclistas — alternativa C.

A ideia por trás

Uma equação do primeiro grau é uma igualdade com uma incógnita que aparece elevada à primeira potência. Resolver essa equação é descobrir qual número, colocado no lugar da incógnita, torna a igualdade verdadeira. Aqui, a incógnita representa uma contagem de pessoas, e o problema mistura porcentagens e somas de participações.

A equação é montada somando as contribuições de cada grupo de ciclistas para o total de participações. Cada porcentagem do enunciado vira uma multiplicação: por exemplo, 20% de um grupo vira 0,2 vezes o tamanho desse grupo. O total de participações é a soma de todas essas contribuições, e igualá-lo a 555 gera a equação. A solução é obtida isolando a incógnita, fazendo operações inversas: somar/subtrair e multiplicar/dividir dos dois lados.

Esta questão cobra a tradução de um texto com porcentagens e contagens em uma única equação do primeiro grau. O ponto delicado é lembrar de incluir a participação original dos ciclistas que já tinham participado antes de 2018, pois cada um deles já contribui com 1 participação no total.

O que a questão dá

  • total de ciclistas = 500

  • participações totais no fim de 2021 = 555

  • 20% do grupo inicial participaram mais duas vezes

  • 35% do grupo inicial participaram mais uma vez

  • 30 do grupo que nunca participou participaram uma vez

  • 25% do grupo que nunca participou participaram em 2019 e 2020

O que queremos: o número de ciclistas que já tinham participado do Tour até o fim de 2018

Passo 1 — Definir a incógnita e o grupo complementar

Precisamos de um símbolo para representar o que queremos descobrir: o número de ciclistas que já tinham participado até 2018. Chamamos esse número de x. Como o total de ciclistas é 500, o grupo que nunca participou até 2018 é o restante, 500 - x. Essa divisão em dois grupos é a base para montar a equação.

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o grupo que nunca participou é 500 - x, e não 500, ou usar x para os dois grupos.

Passo 2 — Calcular as participações novas do grupo inicial

O grupo inicial (x ciclistas) se divide em três partes: 20% participaram mais duas vezes, 35% mais uma vez, e o restante não participou. Cada participação nova conta para o total de 555. Precisamos somar essas contribuições.

Por que esta fórmula: 20% de x é 0,2x, e cada um desses ciclistas contribui com 2 participações, então a contribuição é 2 * 0,2x = 0,4x. Da mesma forma, 35% de x é 0,35x, cada um com 1 participação, contribuindo 0,35x. O restante (45%) não contribui.

contribinicial=0,4x+0,35xcontrib_{inicial} = 0{,}4x + 0{,}35x

De onde vem cada valor: 0,4x0{,}4x = definição: 20% de x, cada um com 2 participações · 0,35x0{,}35x = definição: 35% de x, cada um com 1 participação

contribinicial=0,4x+0,35xcontrib_{inicial} = 0{,}4x + 0{,}35x

contribinicialcontrib_{inicial} = 0,75x participações novas

NÃO CAIA NESSA!

Usar 20% e 35% sem multiplicar pelo número de participações (2 e 1), ou esquecer que o restante não contribui.

Passo 3 — Calcular as participações do grupo que nunca participou

O grupo que nunca participou até 2018 (500 - x) também contribui para o total: 30 participaram uma vez, e 25% participaram em 2019 e 2020 (duas participações). Precisamos somar essas contribuições.

Por que esta fórmula: Os 30 ciclistas contribuem com 30 participações. Os 25% de (500 - x) são 0,25(500 - x), e cada um contribui com 2 participações, então a contribuição é 2 * 0,25(500 - x) = 0,5(500 - x).

contribnovos=30+0,5(500−x)contrib_{novos} = 30 + 0{,}5(500 - x)

De onde vem cada valor: 3030 = enunciado: 30 participaram uma primeira e única vez · 0,5(500−x)0{,}5(500 - x) = definição: 25% de (500 - x), cada um com 2 participações

contribnovos=30+0,5(500−x)contrib_{novos} = 30 + 0{,}5(500 - x)
30+250−0,5x=280 −0,5x30 + 250 - 0{,}5x = \boxed{280\ - 0,5\text{x}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 2 as participações de quem participou em 2019 e 2020, ou usar 25% de x em vez de 25% de (500 - x).

Passo 4 — Montar a equação com todas as participações

O total de participações no fim de 2021 é 555. Esse total é a soma das participações originais dos ciclistas do grupo inicial (cada um já tinha 1 participação, totalizando x) mais as participações novas calculadas nos passos 2 e 3. Igualar essa soma a 555 gera a equação.

Por que esta fórmula: A equação é a soma de todas as contribuições: participações originais (x) + participações novas do grupo inicial (0,75x) + participações do grupo que nunca participou (280 - 0,5x) = 555.

x+0,75x+280−0,5x=555x + 0{,}75x + 280 - 0{,}5x = 555

De onde vem cada valor: xx = definição: cada ciclista do grupo inicial já tinha 1 participação · 0,75x0{,}75x = passo 2: participações novas do grupo inicial · 280−0,5x280 - 0{,}5x = passo 3: participações do grupo que nunca participou

x+0,75x+280−0,5x=555x + 0{,}75x + 280 - 0{,}5x = 555
1,25x+280=5551{,}25x + 280 = \boxed{555}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar o x das participações originais, o que leva a uma equação sem sentido (x > 500).

Passo 5 — Isolar a incógnita e resolver

A equação 1,25x + 280 = 555 está pronta para ser resolvida. Precisamos isolar x para descobrir quantos ciclistas já tinham participado até 2018.

Por que esta fórmula: Para isolar x, subtraímos 280 dos dois lados para eliminar a constante, e depois dividimos por 1,25 para eliminar o coeficiente de x.

x=555−2801,25x = \frac{555 - 280}{1{,}25}

De onde vem cada valor: 555555 = enunciado: total de participações · 280280 = passo 4: constante da equação · 1,251{,}25 = passo 4: coeficiente de x

x=2751,25=220 ciclistasx = \frac{275}{1{,}25} = \boxed{220\ \text{ciclistas}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a subtração 555 - 280 = 275, ou dividir por 1,25 de forma incorreta (por exemplo, 275 / 1,25 = 220, mas alguns podem calcular 275 / 1,25 = 2200 se esquecerem da vírgula).

Resposta: 220 ciclistas — alternativa C

Link permanente: /questoes/vu206352