Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2024

Razão entre lados de um retângulo e sua diagonal

Gabarito: letra A — a razão entre o menor lado e o maior lado de qualquer um dos triângulos formados pela diagonal é $\dfrac{7}{25}$. Isso porque, ao traçar a diagonal de um retângulo, obtêm-se dois triângulos retângulos cujos catetos são a altura e a largura do retângulo, e a hipotenusa é a própria diagonal. Como a razão altura/largura é $\dfrac{7}{24}$, podemos representar a altura por $7k$ e a largura por $24k$. Pelo Teorema de Pitágoras, a diagonal mede $\sqrt{(7k)^2 + (24k)^2} = \sqrt{49k^2 + 576k^2} = \sqrt{625k^2} = 25k$. Assim, os lados de cada triângulo são $7k$, $24k$ e $25k$, e a razão entre o menor e o maior é $\dfrac{7k}{25k} = \dfrac{7}{25}$.

O problema envolve um retângulo, que é um quadrilátero com quatro ângulos retos. Quando traçamos uma diagonal, dividimos o retângulo em dois triângulos retângulos congruentes. Em cada um desses triângulos, os catetos são exatamente a altura e a largura do retângulo, e a hipotenusa é a diagonal. A razão dada no enunciado, $\dfrac{7}{24}$, é entre a altura e a largura. Isso significa que, se multiplicarmos ambos por uma constante $k$, as dimensões do retângulo são $7k$ (altura) e $24k$ (largura).

Para encontrar a medida da diagonal, aplicamos o Teorema de Pitágoras: a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Assim, a diagonal $d$ é dada por $d = \sqrt{(7k)^2 + (24k)^2}$. Calculando: $(7k)^2 = 49k^2$ e $(24k)^2 = 576k^2$. Somando, temos $49k^2 + 576k^2 = 625k^2$. A raiz quadrada de $625k^2$ é $25k$, pois $25 \times 25 = 625$. Portanto, a diagonal mede $25k$.

Agora, cada triângulo formado tem lados medindo $7k$, $24k$ e $25k$. O menor lado é $7k$ e o maior lado é $25k$. A razão pedida é, portanto, $\dfrac{7k}{25k} = \dfrac{7}{25}$. Note que a constante $k$ se cancela, o que mostra que a razão independe do tamanho real do retângulo — ela depende apenas da proporção entre os lados.

A pegadinha desta questão está em confundir a razão entre os lados do retângulo ($\dfrac{7}{24}$) com a razão entre o menor lado e a diagonal do triângulo. O candidato pode ser tentado a usar $\dfrac{7}{24}$ diretamente, mas o triângulo tem três lados, e o maior deles é a diagonal, não a largura. Outro erro comum é calcular a diagonal como $\sqrt{7^2 + 24^2}$ e esquecer de incluir a constante $k$, mas como ela aparece em todos os lados, ela se cancela na razão final.

Para resolver questões como esta, o passo a passo é: (1) identificar que a diagonal do retângulo forma triângulos retângulos; (2) usar o Teorema de Pitágoras para encontrar a medida da diagonal em função da constante de proporcionalidade; (3) comparar os lados do triângulo para determinar qual é o menor e qual é o maior; (4) calcular a razão pedida. Esse método é geral e se aplica a qualquer retângulo, independentemente das medidas específicas.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa A apresenta $\dfrac{7}{25}$, que é exatamente a razão entre o menor lado ($7k$) e o maior lado ($25k$, a diagonal) do triângulo retângulo formado pela diagonal do retângulo. O cálculo está correto: a diagonal é $25k$, e a razão é $\dfrac{7k}{25k} = \dfrac{7}{25}$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa B apresenta $\dfrac{7}{26}$. Esse valor não corresponde a nenhuma relação direta entre os lados do triângulo. O número 26 não aparece no cálculo da diagonal, que é $25k$. Provavelmente, o candidato que escolhe essa opção cometeu um erro ao calcular a diagonal, talvez somando os quadrados de forma incorreta ($49 + 576 = 625$, cuja raiz é 25, não 26).

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa C apresenta $\dfrac{7}{27}$. Assim como a anterior, o número 27 não tem relação com o problema. A diagonal correta é $25k$, e não $27k$. Esse distrator pode surgir de um erro de cálculo na raiz quadrada ou de uma confusão com outros números.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa D apresenta $\dfrac{7}{28}$. O número 28 também não é a medida da diagonal. A diagonal é $25k$, então a razão correta é $\dfrac{7}{25}$. Esse distrator pode vir de uma soma incorreta dos quadrados dos catetos ou de uma tentativa de usar a razão original de forma equivocada.

Gabarito: letra A