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Questão de Matemática — Unidades de Medida (Distância, Massa, Volume, Tempo, etc) — VUNESP 2024

MatemáticaUnidades de Medida (Distância, Massa, Volume, Tempo, etc)
Código
vu206365
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Sorocaba
Ano
2024
Cargo
TCA ( )
Três cordas, uma com 37,8 m de comprimento, outra com 50,4 m de comprimento, e a terceira com 63,0 m de comprimento, serão divididas em pedaços, todos com o mesmo comprimento, o maior possível, de modo a não sobrar corda.   A diferença entre as quantidades de pedaços que serão obtidos da corda com o maior comprimento e da corda com o menor comprimento é igual a
  1. A5.
  2. B4.
  3. C3.
  4. D2.
  5. E1.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 2.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 2 pedaços — alternativa D.

A ideia por trás

O máximo divisor comum (MDC) entre dois ou mais números é o maior número que divide todos eles sem deixar resto. Quando dividimos objetos em partes iguais do maior tamanho possível, o tamanho de cada parte é exatamente o MDC dos tamanhos originais. Aqui, os comprimentos estão em metros, então o MDC será em metros também.

Para achar o MDC, podemos fatorar cada número em primos e multiplicar os fatores comuns com o menor expoente. Por exemplo, se um número tem 2² e outro tem 2³, o fator comum é 2². Depois de achar o MDC, o número de pedaços de cada corda é o comprimento da corda dividido pelo MDC. Quanto maior o MDC, menos pedaços, e vice-versa.

Esta questão pede o MDC de três números decimais. Para facilitar, multiplicamos todos por 10 para trabalhar com inteiros, calculamos o MDC e depois dividimos por 10 para voltar à unidade original. Depois, calculamos quantos pedaços cada corda produz e subtraímos as quantidades da maior e da menor.

O que a questão dá

  • corda 1: 37,8 m

  • corda 2: 50,4 m

  • corda 3: 63,0 m

O que queremos: a diferença entre o número de pedaços da corda maior e da corda menor

Passo 1 — Transformar metros em decímetros

O MDC é mais fácil de calcular com números inteiros. Como todos os comprimentos têm uma casa decimal, multiplicar por 10 os transforma em inteiros sem alterar a proporção entre eles.

Por que esta fórmula: Multiplicar por 10 é uma conversão de unidade: 1 m = 10 dm. Isso não muda o MDC em termos de proporção, apenas escala os números.

Ldm=Lm×10L_{dm} = L_{m} \times 10

De onde vem cada valor: LmL_{m} = enunciado: 37,8 m, 50,4 m, 63,0 m

37,8×10=378,50,4×10=504,63,0×10=630=378 ,504,63037{,}8 \times 10 = 378, \quad 50{,}4 \times 10 = 504, \quad 63{,}0 \times 10 = 630 = \boxed{378\ , 504, 630}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar todos os números por 10 e tentar calcular o MDC com decimais, o que é mais propenso a erro.

Passo 2 — Fatorar cada número em primos

Para achar o MDC, precisamos da fatoração completa de cada número. Isso nos mostra quais fatores são comuns e com qual menor expoente.

Por que esta fórmula: A fatoração em primos é a decomposição única de um número em produto de primos. É a base para calcular o MDC.

378=2×33×7,504=23×32×7,630=2×32×5×7378 = 2 \times 3^{3} \times 7, \quad 504 = 2^{3} \times 3^{2} \times 7, \quad 630 = 2 \times 3^{2} \times 5 \times 7

De onde vem cada valor: 378378 = passo 1 · 504504 = passo 1 · 630630 = passo 1 · 22 = constante: fator primo · 33 = constante: fator primo · 77 = constante: fator primo · 55 = constante: fator primo

378=2×33×7,504=23×32×7,630=2×32×5×7378 = 2 \times 3^{3} \times 7, \quad 504 = 2^{3} \times 3^{2} \times 7, \quad 630 = 2 \times 3^{2} \times 5 \times 7

378378 = fatorações acima

NÃO CAIA NESSA!

Errar a fatoração de 504 ou 630, por exemplo, esquecendo o fator 7.

Passo 3 — Calcular o MDC dos números inteiros

Com as fatorações em mãos, o MDC é o produto dos fatores comuns com o menor expoente. Isso nos dá o maior comprimento de pedaço possível em decímetros.

Por que esta fórmula: O MDC é definido como o produto dos fatores primos comuns, cada um elevado ao menor expoente que aparece em todas as fatorações.

MDC=2×32×7MDC = 2 \times 3^{2} \times 7

De onde vem cada valor: 22 = passo 2: fator comum com menor expoente 2^1 · 323^{2} = passo 2: fator comum com menor expoente 3^2 · 77 = passo 2: fator comum em todos

MDC=2×9×7=126=126MDC = 2 \times 9 \times 7 = 126 = \boxed{126}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o maior expoente em vez do menor, o que daria um número maior que não divide todos.

Passo 4 — Voltar para metros

O MDC calculado está em decímetros, mas o problema pede o comprimento em metros. Como multiplicamos por 10 no início, agora dividimos por 10.

Por que esta fórmula: A conversão inversa: 1 dm = 0,1 m, então dividimos por 10.

MDCm=MDCdm10MDC_{m} = \frac{MDC_{dm}}{10}

De onde vem cada valor: MDCdmMDC_{dm} = passo 3: 126

MDCm=12610=12,6=12,6 mMDC_{m} = \frac{126}{10} = 12{,}6 = \boxed{12{,}6\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 10 e usar 126 m como comprimento do pedaço, o que daria pedaços enormes e poucos pedaços.

Passo 5 — Calcular pedaços de cada corda

Com o comprimento máximo de cada pedaço, dividimos cada corda por esse valor para saber quantos pedaços ela produz.

Por que esta fórmula: O número de pedaços é o comprimento total dividido pelo comprimento de cada pedaço, pois todos os pedaços têm o mesmo tamanho e não sobra corda.

n=LcordaMDCmn = \frac{L_{corda}}{MDC_{m}}

De onde vem cada valor: LcordaL_{corda} = enunciado: 37,8 m, 50,4 m, 63,0 m · MDCmMDC_{m} = passo 4: 12,6 m

nmenor=37,812,6=3,nmedia=50,412,6=4,nmaior=63,012,6=5=3 ,4,5pedac\cosn_{menor} = \frac{37{,}8}{12{,}6} = 3, \quad n_{media} = \frac{50{,}4}{12{,}6} = 4, \quad n_{maior} = \frac{63{,}0}{12{,}6} = 5 = \boxed{3\ , 4, 5 \text{peda}ç\text{os}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir na ordem errada, por exemplo, 12,6 por 37,8, o que daria um número menor que 1.

Passo 6 — Subtrair pedaços da maior e da menor

A questão pede a diferença entre a quantidade de pedaços da corda maior e da menor. Já temos esses números, então é só subtrair.

Por que esta fórmula: A diferença é a subtração entre o maior e o menor número de pedaços.

diferenc\ca=nmaior−nmenordiferença = n_{maior} - n_{menor}

De onde vem cada valor: nmaiorn_{maior} = passo 5: 5 · nmenorn_{menor} = passo 5: 3

diferenc\ca=5−3=2=2diferença = 5 - 3 = 2 = \boxed{2}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair ao contrário (3 - 5 = -2) e marcar alternativa errada, ou parar no MDC e não calcular a diferença.

Resposta: 2 pedaços — alternativa D

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