Questão de Matemática — Equações de Segundo Grau e Equações Biquadradas — VUNESP 2024
Matemática›Equações de Segundo Grau e Equações Biquadradas
Código
vu206367
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Sorocaba
Ano
2024
Cargo
TCA ( )
Para uma reunião, foram organizadas 288 cadeiras em filas, cada fila contendo a mesma quantidade de cadeiras, de modo que o número de cadeiras por fila excedia o número de filas em 2. Essas cadeiras foram numeradas de 001 a 288, sendo a primeira cadeira, 001, a cadeira mais à esquerda da primeira fila; a segunda, 002, a cadeira à direita da cadeira 001; e assim sucessivamente, até a última cadeira da fila. A cada fila seguinte, a numeração das cadeiras continuou da primeira cadeira mais à esquerda e seguiu, continuamente, até a última cadeira da fila. Raquel participou dessa reunião e sentou-se na quarta cadeira da quinta fila, seguindo a ordem de numeração. Logo, Raquel sentou-se na cadeira de número
A076.
B084.
C085.
D086.
E094.
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GabaritoA — 076.
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Resolução
Gabarito: letra A — a conta chega a 076 — alternativa A.
A ideia por trás
Uma equação do segundo grau é uma igualdade em que a incógnita aparece elevada ao quadrado, como ax² + bx + c = 0. Ela surge quando duas quantidades se multiplicam e uma delas depende da outra de forma quadrática — aqui, o total de cadeiras é o produto do número de filas pelo número de cadeiras por fila, e esses dois números estão ligados por uma diferença fixa.
Se chamarmos o número de filas de f, o número de cadeiras por fila é f + 2, e o total é f·(f + 2) = 288. Expandindo, obtemos f² + 2f − 288 = 0, que se resolve com a fórmula de Bhaskara: f = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). O discriminante Δ = b² − 4ac decide quantas soluções reais existem; aqui Δ = 1156, que é um quadrado perfeito, então as raízes são números inteiros. Uma delas é negativa e deve ser descartada, pois não existe quantidade negativa de filas.
Esta questão cobra exatamente esse passo: montar a equação a partir do enunciado, resolvê-la e usar o resultado para localizar uma posição específica na numeração das cadeiras. O desafio está em traduzir corretamente a relação entre filas e cadeiras por fila.
O que a questão dá
total de cadeiras = 288
cadeiras por fila = filas + 2
posição de Raquel: quarta cadeira da quinta fila
O que queremos: o número da cadeira em que Raquel se sentou
Passo 1 — Montar a equação do total de cadeiras
O total de cadeiras é o produto do número de filas pelo número de cadeiras em cada fila. Como o número de cadeiras por fila é o número de filas mais 2, podemos escrever essa relação em uma única equação com uma incógnita.
Por que esta fórmula: Se há f filas e cada fila tem f + 2 cadeiras, o total é f·(f + 2). Igualamos a 288, que é o total dado.
De onde vem cada valor: = definição: número de filas (incógnita) · = enunciado: excede o número de filas em 2 · = enunciado: total de cadeiras
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar f por (f + 2) e tentar resolver como se fosse f + (f + 2) = 288
Passo 2 — Reescrever na forma padrão da equação do 2º grau
Para usar a fórmula de Bhaskara, a equação precisa estar na forma ax² + bx + c = 0. Expandimos o produto e passamos tudo para um lado.
Por que esta fórmula: A forma padrão é f² + 2f − 288 = 0, com a = 1, b = 2 e c = −288.
De onde vem cada valor: = definição: do produto f·f · = definição: do produto f·2 · = definição: subtraindo 288 dos dois lados
NÃO CAIA NESSA!
Errar o sinal de c: como 288 está do outro lado, ele fica negativo
Passo 3 — Calcular o discriminante
O discriminante Δ = b² − 4ac indica quantas raízes reais a equação tem e é necessário para aplicar a fórmula de Bhaskara.
Por que esta fórmula: Δ = b² − 4ac é a parte da fórmula que fica dentro da raiz quadrada.
De onde vem cada valor: = passo 2: 2 · = passo 2: 1 · = passo 2: -288
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer o sinal de menos de c e calcular 4·1·288 = 1152, resultando em Δ = 4 − 1152 = −1148, o que daria raiz de número negativo
Passo 4 — Aplicar a fórmula de Bhaskara
Com o discriminante calculado, podemos encontrar as raízes da equação, que são os possíveis valores para o número de filas.
Por que esta fórmula: A fórmula de Bhaskara é f = (−b ± √Δ) / (2a). Substituímos os valores de a, b e Δ.
De onde vem cada valor: = passo 2: 2 · = passo 3: 1156 · = passo 2: 1
f = 16 ou f = -18
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer o ± e considerar apenas uma raiz
Passo 5 — Escolher a raiz positiva
O número de filas não pode ser negativo, então descartamos a raiz negativa e ficamos com f = 16.
Por que esta fórmula: Não há fórmula; é uma decisão lógica baseada no contexto do problema.
NÃO CAIA NESSA!
Aceitar a raiz negativa por descuido, o que levaria a um número de cadeiras por fila negativo
Passo 6 — Calcular cadeiras por fila
Precisamos saber quantas cadeiras há em cada fila para localizar a posição de Raquel.
Por que esta fórmula: O enunciado diz que o número de cadeiras por fila excede o número de filas em 2, então é f + 2.
De onde vem cada valor: = passo 5: 16 · = enunciado: excede em 2
NÃO CAIA NESSA!
Confundir e fazer f − 2, obtendo 14
Passo 7 — Calcular a posição da cadeira de Raquel
A numeração é sequencial: a primeira fila ocupa as cadeiras 1 a 18, a segunda 19 a 36, e assim por diante. Para a quinta fila, precisamos somar as cadeiras das quatro filas anteriores com a posição dentro da quinta fila.
Por que esta fórmula: A quarta cadeira da quinta fila é a cadeira de número (5 − 1) × 18 + 4, porque há 4 filas completas antes e a posição dentro da fila é 4.
De onde vem cada valor: = definição: quatro filas antes da quinta · = passo 6: cadeiras por fila · = enunciado: quarta cadeira
NÃO CAIA NESSA!
Usar 5 × 18 + 4 = 94, contando a quinta fila como se já estivesse completa antes de somar a posição