Questão de Matemática — Relações Métricas no Triângulo Retângulo (Inclui Teorema de Pitágoras) — VUNESP 2024

Relações Métricas no Triângulo Retângulo

Gabarito: letra A — o comprimento da haste é $6\sqrt{2}$ m. O poste tem 8 m de comprimento total, mas 2 m estão fincados no solo, então a parte exposta (que forma o cateto vertical do triângulo retângulo) mede 6 m. A haste vai do topo do poste ao ponto S no solo, formando a hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles (ângulos de 45°), cujo cateto horizontal também mede 6 m. Pelo Teorema de Pitágoras, a hipotenusa é $6\sqrt{2}$ m.

O problema envolve o Teorema de Pitágoras, que é a relação métrica fundamental do triângulo retângulo: em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto e é sempre o maior lado do triângulo. Os catetos são os dois lados que formam o ângulo reto.

A figura mostra um poste perpendicular ao solo. O poste tem 8 metros de comprimento total, mas 2 metros estão enterrados. Portanto, a altura do poste acima do solo é de 8 − 2 = 6 metros. Essa altura é um dos catetos do triângulo retângulo formado pelo poste, o solo e a haste.

A haste vai do topo do poste até o ponto S no solo. Como o poste é perpendicular ao solo, o ângulo entre o poste e o solo é de 90°. A haste é a hipotenusa desse triângulo retângulo. A distância horizontal entre a base do poste e o ponto S é o outro cateto.

A figura indica que o ângulo entre a haste e o solo é de 45°. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, e um dos ângulos é 90° e outro é 45°, o terceiro ângulo (entre a haste e o poste) também é 45°. Portanto, o triângulo é isósceles, e os dois catetos são iguais. Como o cateto vertical (altura do poste) mede 6 m, o cateto horizontal (distância da base ao ponto S) também mede 6 m.

Aplicando o Teorema de Pitágoras:

$h^2 = 6^2 + 6^2$

$h^2 = 36 + 36$

$h^2 = 72$

$h = \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$

Portanto, o comprimento da haste é $6\sqrt{2}$ metros.

A pegadinha desta questão está em identificar corretamente a altura do poste acima do solo. O candidato pode usar o comprimento total do poste (8 m) em vez da parte exposta (6 m), o que levaria a um resultado diferente. É fundamental ler o enunciado com atenção e subtrair a profundidade em que o poste foi fincado.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa A é a correta. O comprimento da haste é $6\sqrt{2}$ m. Como calculado, o triângulo formado é retângulo isósceles com catetos de 6 m, e a hipotenusa (haste) é $6\sqrt{2}$ m.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa B apresenta $\sqrt{18}$ m, que é igual a $3\sqrt{2}$ m. Esse valor seria obtido se os catetos medissem 3 m cada, o que não corresponde à situação. O candidato pode ter usado a altura de 6 m incorretamente ou confundido os cálculos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa C apresenta $\sqrt{12}$ m, que é igual a $2\sqrt{3}$ m. Esse valor não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados do problema. Provavelmente, o candidato cometeu um erro ao aplicar o Teorema de Pitágoras ou ao simplificar a raiz quadrada.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa D apresenta $2\sqrt{6}$ m. Esse valor seria obtido se a hipotenusa fosse calculada como $\sqrt{24}$, o que não é o caso. O candidato pode ter usado a altura de 8 m (comprimento total do poste) em vez de 6 m, resultando em $\sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$, ou pode ter errado na simplificação.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa E apresenta $6\sqrt{6}$ m. Esse valor seria obtido se a hipotenusa fosse $\sqrt{216}$, o que não corresponde aos dados. O candidato pode ter usado a altura de 6 m e a distância horizontal de 6 m, mas errado na simplificação da raiz de 72, ou pode ter usado o comprimento total do poste (8 m) e a distância horizontal de 6 m, resultando em $\sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10$ m.

Gabarito: letra A