Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — VUNESP 2024
Matemática›Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC)
Código
vu206376
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Mogi Cruzes
Ano
2024
Cargo
Ag (Pref Mogi das Cruzes)
O professor de matemática colocou na lousa o seguinte cálculo. \dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{6}+\dfrac{1}{8} Orientou seus alunos a encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores das frações. Os alunos que acertaram responderam que o MMC é:
A24.
B18.
C16.
D12.
E10.
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GabaritoA — 24.
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Resolução
Gabarito: letra A — a conta chega a MMC(4, 6, 8) = 24 — alternativa A.
A ideia por trás
O mínimo múltiplo comum (MMC) entre dois ou mais números é o menor número inteiro positivo que é múltiplo de todos eles. No contexto de frações, ele serve para encontrar o menor denominador comum, permitindo somar ou subtrair frações com denominadores diferentes. Por exemplo, para somar 1/2 + 1/3, o MMC de 2 e 3 é 6, então reescrevemos as frações com denominador 6: 3/6 + 2/6 = 5/6.
Existem dois métodos principais para calcular o MMC: listagem dos múltiplos e fatoração simultânea. Na listagem, escrevemos os múltiplos de cada número até encontrar o menor comum. Na fatoração simultânea, dividimos os números pelos menores primos possíveis, mesmo que o primo divida apenas um deles, até todos virarem 1; o MMC é o produto de todos os fatores primos utilizados. O MMC deve ser múltiplo de todos os números, e não apenas de alguns.
Esta questão pede o MMC dos denominadores 4, 6 e 8. Vamos usar a fatoração simultânea para encontrar o menor múltiplo comum, que será o denominador comum para somar as frações.
O que a questão dá
denominadores das frações: 4, 6 e 8
O que queremos: o mínimo múltiplo comum (MMC) entre 4, 6 e 8
Passo 1 — Listar os números a fatorar
Para calcular o MMC, precisamos trabalhar com os denominadores das frações. Aqui, eles são 4, 6 e 8. Vamos fatorá-los simultaneamente.
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de incluir algum denominador na fatoração, o que levaria a um MMC incorreto.
Passo 2 — Dividir pelos menores primos possíveis
A fatoração simultânea consiste em dividir todos os números por primos (2, 3, 5, ...) até que todos virem 1. Começamos pelo menor primo, 2, e repetimos enquanto pelo menos um número for divisível por ele.
Por que esta fórmula: Este é o método de fatoração simultânea: dividimos cada número pelo primo, anotando o quociente; se um número não for divisível, ele permanece igual. O processo termina quando todos os números são 1.
NÃO CAIA NESSA!
Parar de dividir antes de todos os números virarem 1, ou dividir por um primo que não divide nenhum número.
Passo 3 — Multiplicar os fatores primos usados
Após a fatoração, o MMC é o produto de todos os fatores primos que usamos nas divisões. Isso nos dá o menor número que é múltiplo de todos os originais.
Por que esta fórmula: O MMC é o produto dos fatores primos com seus maiores expoentes. Na fatoração simultânea, cada divisão por um primo contribui com um fator para o produto final.
De onde vem cada valor: = passo 2: divisões por 2 (três vezes) · = passo 2: divisão por 3 (uma vez)
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar algum fator, ou multiplicar apenas os primos que dividem todos os números (isso seria o MDC).