Matemática · VUNESP · 2024 | Questão sqc-vu206377

Problemas com Idades: Sistemas de Equações

Gabarito: letra A — a razão entre as idades de César e Erick daqui a 7 anos é $\dfrac{5}{7}$ . Para chegar a esse resultado, montamos um sistema de equações do 1º grau com as informações do enunciado, resolvemos para encontrar as idades atuais e, então, calculamos a razão pedida.

A ideia por trás

Problemas de idade são clássicos em concursos e, na maioria das vezes, são resolvidos com sistemas de equações do 1º grau. A estratégia é transformar cada frase do enunciado em uma equação matemática, usando letras para representar as idades desconhecidas. Depois, resolvemos o sistema para descobrir os valores e, por fim, respondemos à pergunta específica.

Vamos definir as variáveis:

$C$ = idade atual de César
$E$ = idade atual de Erick

Agora, vamos traduzir cada informação:

"A soma das idades atuais de César e de Erick é igual a 34 anos" → $C + E = 34$
"Atualmente, o pai de César possui o triplo de sua idade" → idade do pai de César = $3C$
"o pai de Erick possui o dobro da idade deste" → idade do pai de Erick = $2E$
"A soma das idades atuais dos pais de César e de Erick é igual a 81 anos" → $3C + 2E = 81$

Temos, então, o sistema:

\begin{cases} C + E = 34 \\ 3C + 2E = 81 \end{cases}

Para resolver, podemos usar o método da substituição. Da primeira equação, isolamos $C$ :

C = 34 - E

Substituímos na segunda equação:

3(34 - E) + 2E = 81

102 - 3E + 2E = 81

102 - E = 81

E = 102 - 81 = 21

Agora, encontramos $C$ :

C = 34 - 21 = 13

Portanto, César tem 13 anos e Erick tem 21 anos.

A pergunta é: "daqui a 7 anos, a razão entre a idade de César e a idade de Erick será igual a". Daqui a 7 anos:

César terá $13 + 7 = 20$ anos
Erick terá $21 + 7 = 28$ anos

A razão pedida é:

\frac{20}{28} = \frac{5}{7}

Simplificamos a fração dividindo numerador e denominador por 4. O resultado é $\dfrac{5}{7}$ , que corresponde à alternativa A.

NÃO CAIA NESSA!

A banca pode tentar confundir o candidato de duas formas: (1) usar as idades atuais na razão, o que daria $\dfrac{13}{21}$ , que não está entre as alternativas; (2) inverter a razão, calculando $\dfrac{28}{20} = \dfrac{7}{5}$ , que também não aparece. A chave é ler com atenção o que se pede: a razão daqui a 7 anos, ou seja, entre as idades futuras.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, daqui a 7 anos César terá 20 anos e Erick terá 28 anos. A razão é $\dfrac{20}{28}$ , que simplificada por 4 resulta em $\dfrac{5}{7}$ . Esta é a resposta correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $\dfrac{4}{7}$ não corresponde a nenhuma razão obtida com os dados do problema. Se o candidato errasse na montagem do sistema (por exemplo, invertendo as relações entre as idades dos pais), poderia chegar a um resultado diferente, mas $\dfrac{4}{7}$ não é uma razão possível entre as idades de César e Erick em nenhum momento.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A fração $\dfrac{3}{5}$ não é a razão pedida. Ela poderia surgir de um erro de cálculo, como usar as idades atuais (13 e 21) e simplificar incorretamente, ou de uma montagem equivocada do sistema. Nenhuma combinação correta das idades leva a $\dfrac{3}{5}$ .

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\dfrac{4}{5}$ também não é a razão correta. Esse valor poderia ser obtido se o candidato calculasse a razão entre as idades atuais de forma errada ou se confundisse os valores de César e Erick. A razão correta, como vimos, é $\dfrac{5}{7}$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

A fração $\dfrac{5}{8}$ não corresponde à razão entre as idades de César e Erick daqui a 7 anos. Ela poderia ser um distrator pensado para quem erra na resolução do sistema ou na soma dos 7 anos. Nenhum cálculo correto leva a esse valor.

Gabarito: letra A