Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Radiciação e Potenciação — VUNESP 2024

MatemáticaRadiciação e Potenciação
Código
vu206378
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Mogi Cruzes
Ano
2024
Cargo
Ana Sis (Pref Mogi das Cruzes)
Existe uma pessoa que tem 8\cdot 10^9\,\,\mbox{reais}. Suponha que essa pessoa vá doar a quarta parte da raiz cúbica desse valor. Essa doação será de
  1. A500 000 reais.
  2. B50 000 reais.
  3. C5 000 reais.
  4. D500 reais.
  5. E50 reais.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 500 reais.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a R$ 500,00 — alternativa D.

A ideia por trás

A raiz cúbica de um número é o valor que, multiplicado por si mesmo três vezes, reproduz o número original. Por exemplo, a raiz cúbica de 8 é 2, porque 2 × 2 × 2 = 8. Já a 'quarta parte' de um valor é simplesmente esse valor dividido por 4. Esta questão combina essas duas operações sobre um número escrito em notação científica.

A raiz cúbica de um produto é o produto das raízes cúbicas: ∛(a·b) = ∛a · ∛b. Além disso, quando o radicando é uma potência cujo expoente é múltiplo do índice da raiz, a raiz 'cancela' a potência: ∛(a³) = a. Aqui, 8 = 2³ e 10⁹ = (10³)³, então ∛(8·10⁹) = ∛(2³) · ∛((10³)³) = 2 · 10³ = 2000. Depois, a quarta parte é 2000 ÷ 4 = 500.

Esta questão cobra exatamente essa decomposição: reescrever o radicando como um cubo perfeito para extrair a raiz com facilidade, e então aplicar a fração. O passo crítico é não esquecer de aplicar a raiz cúbica em todo o radicando, não apenas no 8.

O que a questão dá

  • valor total = 8 × 10^9 reais

  • doação = quarta parte da raiz cúbica do valor

O que queremos: o valor da doação em reais

Passo 1 — Reescrever o valor como um cubo perfeito

Para extrair a raiz cúbica com facilidade, precisamos que o radicando seja um cubo perfeito, ou seja, algo do tipo (alguma coisa)³. O número 8 é 2³, e 10⁹ é (10³)³, então o produto pode ser escrito como (2·10³)³.

Por que esta fórmula: Usamos a propriedade da potenciação: (a·b)³ = a³·b³. Aqui, a = 2 e b = 10³, então (2·10³)³ = 2³·(10³)³ = 8·10⁹.

8×109=(2×103)38 \times 10^{9} = (2 \times 10^{3})^{3}

De onde vem cada valor: 88 = enunciado: 8 × 10^9 · 10910^{9} = enunciado: 8 × 10^9 · 22 = definição: 2³ = 8 · 10310^{3} = definição: (10³)³ = 10⁹

8×109=(2×103)3=(2×103)38 \times 10^{9} = (2 \times 10^{3})^{3} = \boxed{(2 \times 10^{3})^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de reescrever o 10⁹ como (10³)³ e tentar calcular a raiz de 10⁹ diretamente, o que complica a conta.

Passo 2 — Extrair a raiz cúbica

Agora que o radicando é um cubo perfeito, a raiz cúbica é imediata: a raiz cúbica de (algo)³ é esse algo. Isso elimina a necessidade de calcular a raiz de um número enorme.

Por que esta fórmula: A definição de raiz cúbica: ∛(a³) = a. Como (2·10³)³ é um cubo perfeito, a raiz é simplesmente 2·10³.

\sqrt[3]{8 \times 10^{9} = \sqrt[3]{(2 \times 10^{3})^{3} = 2 \times 10^{3}

De onde vem cada valor: 8×1098 \times 10^{9} = enunciado: valor total · 2×1032 \times 10^{3} = passo 1: (2 × 10³)³

\sqrt[3]{(2 \times 10^{3})^{3} = 2 \times 10^{3} = \boxed{2000}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular a raiz cúbica de 8 (que é 2) e multiplicar por 10⁹ sem extrair a raiz do 10⁹, obtendo 2×10⁹.

Passo 3 — Calcular a quarta parte da raiz

A doação é a quarta parte do valor que acabamos de encontrar. 'Quarta parte' significa dividir por 4, então agora é só fazer essa divisão.

Por que esta fórmula: A fração 'quarta parte' é equivalente a multiplicar por 1/4, ou seja, dividir por 4.

doac¸a˜o=20004\text{doação} = \frac{2000}{4}

De onde vem cada valor: 20002000 = passo 2: raiz cúbica = 2000 · 44 = enunciado: quarta parte

doac¸a˜o=20004=500 reais\text{doação} = \frac{2000}{4} = \boxed{500\ \text{reais}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 4 e marcar 2000, que não está nas alternativas.

Resposta: R$ 500,00 — alternativa D

Link permanente: /questoes/vu206378