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Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2024

MatemáticaQuadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc)
Código
vu206379
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Mogi Cruzes
Ano
2024
Cargo
Ana Sis (Pref Mogi das Cruzes)
Na figura a seguir, considere as seguintes medidas em metros: AE = 2x; EB = 4; DG = 6; AG = x Sabendo que a área do retângulo ABCD é 154 m2, é correto afirmar que a área do hexágono BCDGFE excede a área do retângulo AEFG emImagem associada para resolução da questão
  1. A54 m2.
  2. B58 m2.
  3. C62 m2.
  4. D66 m2.
  5. E70 m2.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 54 m2.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 54 m² — alternativa A.

A ideia por trás

A área de um retângulo é a medida da superfície que ele ocupa, calculada multiplicando o comprimento da base pela altura. Quando uma figura é composta por outras, como um retângulo grande dividido em dois menores, a área total é a soma das áreas das partes. O hexágono aqui é uma dessas partes: é o retângulo grande sem o retângulo pequeno.

Para um retângulo de base b e altura h, a área é A = b × h. Se um retângulo maior é formado por dois retângulos menores lado a lado, a área do maior é a soma das áreas dos menores. Assim, a área de uma parte é a área total menos a área da outra parte. Essa relação vale para qualquer decomposição em figuras que não se sobrepõem.

Esta questão pede para identificar que o hexágono BCDGFE é exatamente o retângulo ABCD sem o retângulo AEFG. Então, precisamos calcular a área do retângulo AEFG e subtraí-la da área total, e depois comparar com a área do próprio AEFG.

O que a questão dá

  • AE = 2x

  • EB = 4

  • DG = 6

  • AG = x

  • área do retângulo ABCD = 154 m²

O que queremos: a diferença entre a área do hexágono BCDGFE e a área do retângulo AEFG

Passo 1 — Montar a equação da área do retângulo grande

O retângulo ABCD tem base AB = AE + EB e altura AD = AG + GD. Como sabemos a área total, essa equação nos permite descobrir o valor de x, que é a chave para todas as outras medidas.

Por que esta fórmula: A área de um retângulo é base vezes altura. Aqui, a base é a soma dos segmentos AE e EB, e a altura é a soma de AG e GD.

(AE+EB)×(AG+GD)=154(AE + EB) \times (AG + GD) = 154

De onde vem cada valor: AEAE = enunciado: 2x · EBEB = enunciado: 4 · AGAG = enunciado: x · GDGD = enunciado: 6

(2x+4)×(x+6)=154(2x + 4) \times (x + 6) = 154

equação montada

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar os segmentos antes de multiplicar, usando apenas 2x × x = 154.

Passo 2 — Resolver a equação para achar x

Com a equação do passo anterior, precisamos isolar x. Isso é feito expandindo o produto, simplificando e resolvendo a equação do segundo grau.

Por que esta fórmula: A equação é do tipo ax² + bx + c = 0, então usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes. Como x é uma medida de comprimento, só a raiz positiva serve.

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}

De onde vem cada valor: aa = passo 1: coeficiente de x², que é 2 · bb = passo 1: coeficiente de x, que é 16 · cc = passo 1: termo constante, que é -130

x=−16±162−4⋅2⋅(−130)2⋅2x = \frac{-16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-130)}}{2 \cdot 2}
x=5x = \boxed{5}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir toda a equação por 2 antes de aplicar Bhaskara, ou descartar a raiz negativa sem justificar.

Passo 3 — Calcular a área do retângulo AEFG

O retângulo AEFG é a parte que será retirada do retângulo grande para formar o hexágono. Precisamos da sua área para comparar com a do hexágono.

Por que esta fórmula: A área de um retângulo é base × altura. Aqui, a base é AE e a altura é AG.

AAEFG=AE×AGA_{AEFG} = AE \times AG

De onde vem cada valor: AEAE = enunciado: 2x, com x = 5 do passo 2, então 10 · AGAG = enunciado: x, com x = 5 do passo 2, então 5

AAEFG=10×5=50 m2A_{AEFG} = 10 \times 5 = \boxed{50\ \text{m}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar x = -13, que é negativo e não faz sentido para comprimento.

Passo 4 — Calcular a área do hexágono BCDGFE

O hexágono é a região do retângulo grande que sobra quando retiramos o retângulo AEFG. Como já temos a área total e a área do retângulo pequeno, a subtração direta resolve.

Por que esta fórmula: A área do hexágono é a área do retângulo ABCD menos a área do retângulo AEFG, pois o hexágono é exatamente a parte que não pertence ao AEFG.

Ahex=AABCD−AAEFGA_{hex} = A_{ABCD} - A_{AEFG}

De onde vem cada valor: AABCDA_{ABCD} = enunciado: 154 m² · AAEFGA_{AEFG} = passo 3: 50 m²

Ahex=154−50=104 m2A_{hex} = 154 - 50 = \boxed{104\ \text{m}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir o hexágono com o retângulo EBCF, que tem área 44 m², e errar a diferença.

Passo 5 — Calcular a diferença entre as áreas

A pergunta final é quanto a área do hexágono excede a área do retângulo AEFG. Com as duas áreas calculadas, a diferença é uma subtração simples.

Por que esta fórmula: A diferença entre duas grandezas é a subtração da menor da maior. Aqui, o hexágono é maior que o AEFG.

Diferenc\ca=Ahex−AAEFGDiferença = A_{hex} - A_{AEFG}

De onde vem cada valor: AhexA_{hex} = passo 4: 104 m² · AAEFGA_{AEFG} = passo 3: 50 m²

Diferenc\ca=104−50=54 m2Diferença = 104 - 50 = \boxed{54\ \text{m}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair ao contrário (50 - 104) e obter -54, esquecendo que a pergunta é quanto o hexágono EXCEDE.

Resposta: 54 m² — alternativa A

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