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Questão de Matemática — Relações Métricas no Triângulo Retângulo (Inclui Teorema de Pitágoras) — VUNESP 2024

MatemáticaRelações Métricas no Triângulo Retângulo (Inclui Teorema de Pitágoras)
Código
vu206381
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Mogi Cruzes
Ano
2024
Cargo
Ana Sis (Pref Mogi das Cruzes)
O polígono ABCD representa um circuito de caminhadas com as seguintes medidas expressas em metros: AB = 5; BD = 13; CD = 84. O número mínimo de voltas completas a serem dadas nesse circuito para que uma pessoa percorra 3 km ou mais éImagem associada para resolução da questão
  1. A17.
  2. B16.
  3. C15.
  4. D14.
  5. E13.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 17.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 17 voltas — alternativa A.

A ideia por trás

O Teorema de Pitágoras é uma relação entre os lados de um triângulo retângulo: o quadrado do lado maior (a hipotenusa) é igual à soma dos quadrados dos outros dois (os catetos). Ele serve para descobrir uma medida desconhecida quando conhecemos as outras duas, desde que o triângulo tenha um ângulo reto.

A relação é a² = b² + c², onde a é a hipotenusa e b, c são os catetos. Se um cateto cresce, a hipotenusa cresce, mas não de forma proporcional: aumentar um cateto de 5 para 13 faz a hipotenusa saltar de 13 para 85, porque o quadrado amplifica as diferenças. Essa relação vale apenas para triângulos retângulos, e é a ferramenta para achar lados que faltam em figuras que contêm ângulos retos.

Esta questão esconde dois triângulos retângulos dentro de um polígono: o segmento BD é hipotenusa de um e cateto do outro. Precisamos aplicar Pitágoras duas vezes para achar os lados que faltam e então somar tudo para obter o perímetro.

O que a questão dá

  • AB = 5 m

  • BD = 13 m

  • CD = 84 m

  • distância alvo = 3 km

O que queremos: o número mínimo de voltas completas para percorrer pelo menos 3 km

Passo 1 — Achar o lado AD do primeiro triângulo

O circuito é formado por dois triângulos retângulos que compartilham o lado BD. No triângulo ABD, conhecemos dois lados (AB e BD) e falta o terceiro, AD. Sem ele não dá para calcular o perímetro.

Por que esta fórmula: Pitágoras: a hipotenusa ao quadrado é a soma dos quadrados dos catetos. Aqui BD é a hipotenusa (oposto ao ângulo reto em A), então BD² = AB² + AD².

BD2=AB2+AD2BD^{2} = AB^{2} + AD^{2}

De onde vem cada valor: BDBD = enunciado: 13 m · ABAB = enunciado: 5 m

132=52+AD213^{2} = 5^{2} + AD^{2}
AD=12 mAD = \boxed{12\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Trocar os papéis e usar AD como hipotenusa — o lado maior é sempre o oposto ao ângulo reto.

Passo 2 — Achar o lado BC do segundo triângulo

Agora no triângulo BCD, conhecemos BD e CD, e falta BC. Esse é o último lado desconhecido do circuito.

Por que esta fórmula: Novamente Pitágoras, mas agora BD é cateto e BC é a hipotenusa (oposto ao ângulo reto em D).

BC2=BD2+CD2BC^{2} = BD^{2} + CD^{2}

De onde vem cada valor: BDBD = enunciado: 13 m · CDCD = enunciado: 84 m

BC2=132+842BC^{2} = 13^{2} + 84^{2}
BC=85 mBC = \boxed{85\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de tirar a raiz quadrada e usar BC² = 7225 como se fosse o lado.

Passo 3 — Calcular o perímetro do circuito

Uma volta completa é percorrer todo o contorno do polígono, ou seja, a soma de todos os lados. Com os quatro lados conhecidos, podemos somar.

Por que esta fórmula: Perímetro de um polígono é a soma dos comprimentos de todos os seus lados.

P=AB+BC+CD+ADP = AB + BC + CD + AD

De onde vem cada valor: ABAB = enunciado: 5 m · BCBC = passo 2: 85 m · CDCD = enunciado: 84 m · ADAD = passo 1: 12 m

P=5+85+84+12=186 mP = 5 + 85 + 84 + 12 = \boxed{186\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar apenas os lados dados no enunciado (5+13+84) e esquecer os que foram calculados.

Passo 4 — Converter a distância alvo para metros

O perímetro está em metros, então a distância de 3 km precisa estar na mesma unidade para comparar e dividir.

Por que esta fórmula: 1 km = 1000 m, então multiplicamos por 1000.

d=3×1000d = 3 \times 1000

De onde vem cada valor: 33 = enunciado: 3 km

d=3×1000=3000 md = 3 \times 1000 = \boxed{3000\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer a conversão e dividir 3 por 186, dando um número minúsculo.

Passo 5 — Dividir a distância pelo perímetro

Para saber quantas voltas são necessárias, dividimos a distância total pelo comprimento de uma volta. O resultado indica quantas voltas completas cabem.

Por que esta fórmula: Número de voltas = distância total ÷ perímetro.

n=dPn = \frac{d}{P}

De onde vem cada valor: dd = passo 4: 3000 m · PP = passo 3: 186 m

n=3000186=16,13 voltasn = \frac{3000}{186} = \boxed{16{,}13\ \text{voltas}}
NÃO CAIA NESSA!

Arredondar para 16 sem pensar no que o enunciado pede.

Passo 6 — Arredondar para cima

O resultado 16,13 significa que 16 voltas não são suficientes: 16 × 186 = 2976 m, que é menos que 3000 m. Como o enunciado exige '3 km ou mais', precisamos da próxima volta inteira.

Por que esta fórmula: Quando o número de voltas precisa ser inteiro e o total deve ser maior ou igual à meta, arredonda-se sempre para cima (teto).

nmin=⌈n⌉n_{min} = \lceil n \rceil

De onde vem cada valor: nn = passo 5: 16,13

nmin=⌈16,13⌉=17 voltasn_{min} = \lceil 16{,}13 \rceil = \boxed{17\ \text{voltas}}
NÃO CAIA NESSA!

Truncar para 16 — com 16 voltas a pessoa percorre 2976 m, ficando 24 m abaixo da meta.

Resposta: 17 voltas — alternativa A

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