Questão de Matemática — Relações Métricas no Triângulo Retângulo (Inclui Teorema de Pitágoras) — VUNESP 2024

Relações Métricas no Triângulo Retângulo

Gabarito: letra D — a largura AC do telhado mede $\sqrt{288}\,\text{cm}$. Como o triângulo é isósceles e os catetos AB e BC medem 12 cm cada, o ângulo em B é reto (90°), e a base AC é a hipotenusa. Pelo Teorema de Pitágoras, $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 12^2 + 12^2 = 288$, logo $AC = \sqrt{288}\,\text{cm}$.

O Teorema de Pitágoras é a relação métrica fundamental do triângulo retângulo: em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. A hipotenusa é sempre o lado oposto ao ângulo reto — o maior lado do triângulo. No desenho da frente da casa, o telhado é um triângulo isósceles com os lados AB e BC congruentes (medindo 12 cm cada). A palavra-chave é "catetos": o enunciado já os nomeia, o que indica que o ângulo entre eles é reto (90°). Assim, a base AC, que é o lado oposto a esse ângulo, é a hipotenusa.

Aplicando o teorema: $AC^2 = 12^2 + 12^2 = 144 + 144 = 288$. Portanto, $AC = \sqrt{288}\,\text{cm}$. Note que $\sqrt{288}$ pode ser simplificado: $288 = 144 \times 2$, então $\sqrt{288} = \sqrt{144 \times 2} = 12\sqrt{2}\,\text{cm}$. A alternativa D apresenta exatamente $\sqrt{288}$, que é a forma não simplificada.

A pegadinha da banca está em reconhecer que o triângulo é retângulo. Um triângulo isósceles não é necessariamente retângulo — ele tem dois lados iguais, mas o ângulo entre eles pode ser qualquer. No entanto, o enunciado chama AB e BC de "catetos", termo que só se aplica a triângulos retângulos. Se o candidato não perceber isso, pode tentar usar a lei dos cossenos ou outras relações, mas o caminho direto é o Teorema de Pitágoras.

Guarde a distinção: em um triângulo retângulo, os catetos são os lados que formam o ângulo reto, e a hipotenusa é o lado oposto a ele. Quando o enunciado fala em "catetos", o ângulo entre eles é 90°, e o terceiro lado é a hipotenusa. É exatamente essa identificação que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\sqrt{72}\,\text{cm}$ seria o resultado se os catetos medissem 6 cm cada ($6^2 + 6^2 = 72$), ou se apenas um cateto de 12 cm fosse considerado ($12^2 = 144$, e $144/2 = 72$). A banca explora a confusão entre somar os quadrados e dividir por 2, ou usar um valor incorreto de cateto.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\sqrt{144}\,\text{cm} = 12\,\text{cm}$ corresponde ao valor de um único cateto, não à hipotenusa. O candidato que marca esta opção provavelmente esqueceu de aplicar o Teorema de Pitágoras e apenas repetiu a medida dada no enunciado.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\sqrt{196}\,\text{cm} = 14\,\text{cm}$ seria o resultado se os catetos medissem $\sqrt{98}$ cada, ou se o candidato somasse os catetos ($12 + 12 = 24$) e depois fizesse algo incorreto. Não há relação direta com os dados do problema — é um distrator numérico sem fundamento.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando o Teorema de Pitágoras: $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 12^2 + 12^2 = 144 + 144 = 288$. Portanto, $AC = \sqrt{288}\,\text{cm}$. Esta é a única alternativa que corresponde ao cálculo correto da hipotenusa do triângulo retângulo isósceles.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\sqrt{360}\,\text{cm}$ seria o resultado se os catetos medissem $\sqrt{180}$ cada, ou se o candidato somasse os quadrados de forma incorreta (por exemplo, $12^2 + 12^2 + 12^2 = 432$, que não é 360). Não há operação com os dados fornecidos que resulte em 360 — é um distrator puro.

A regra de ouro para levar à prova: quando o enunciado nomeia dois lados como "catetos", o ângulo entre eles é reto, e o terceiro lado é a hipotenusa — basta aplicar $a^2 = b^2 + c^2$. Nesta questão, os dois catetos são iguais (12 cm), então a hipotenusa é $12\sqrt{2}\,\text{cm}$, que em forma de raiz é $\sqrt{288}$.

Gabarito: letra D