Questão de Matemática — Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão de Números Naturais — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a R$ 28.000,00 — alternativa B.

A ideia por trás

Um sistema de equações do 1º grau é um conjunto de duas ou mais equações que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo. Aqui, cada equação representa uma informação do problema: uma sobre a quantidade de ingressos e outra sobre o dinheiro arrecadado. Resolver o sistema é encontrar os números de ingressos de cada tipo que satisfazem as duas condições simultaneamente.

A primeira equação, p + c = 400, diz que a soma dos ingressos de plateia e camarote é 400. A segunda, 200p + 350c = 92000, diz que o total arrecadado é a soma do que cada tipo rendeu. Se aumentarmos o número de camarotes, o total arrecadado cresce mais rápido do que se aumentarmos o número de plateias, porque o camarote é mais caro. O método da substituição isola uma incógnita em uma equação e a usa na outra, transformando o sistema em uma equação só.

Esta questão cobra exatamente a montagem e a resolução desse sistema: transformar as frases em equações, isolar uma incógnita e substituir. O passo final é multiplicar o número de camarotes pelo preço para achar o valor arrecadado.

O que a questão dá

• total de ingressos vendidos = 400

• preço do ingresso de plateia = R$ 200,00

• preço do ingresso de camarote = R$ 350,00

• arrecadação total = R$ 92.000,00

O que queremos: o valor arrecadado com a venda de ingressos para camarotes

Passo 1 — Definir as incógnitas e montar as equações

Antes de qualquer conta, precisamos traduzir o problema em linguagem matemática. Chamamos de p o número de ingressos de plateia e de c o de camarote. A primeira frase do enunciado, 'vendeu 400 ingressos', vira p + c = 400. A segunda, sobre o total arrecadado, vira 200p + 350c = 92000, porque cada plateia contribui com 200 e cada camarote com 350.

Por que esta fórmula: São as duas informações que o problema dá: uma sobre quantidade e outra sobre valor. Sem as duas, não dá para achar dois números desconhecidos.

De onde vem cada valor: $p$ = definição: número de ingressos de plateia · $c$ = definição: número de ingressos de camarote · $400$ = enunciado: total de ingressos · $200$ = enunciado: preço do ingresso de plateia · $350$ = enunciado: preço do ingresso de camarote · $92000$ = enunciado: arrecadação total

Passo 2 — Isolar uma incógnita na primeira equação

Para resolver o sistema, precisamos reduzir o número de incógnitas. Isolando p na equação mais simples, p = 400 - c, podemos substituir essa expressão na outra equação, ficando com uma equação só em c.

Por que esta fórmula: A primeira equação é a mais fácil de isolar, pois p aparece sem coeficiente. Subtraindo c dos dois lados, obtemos p em função de c.

De onde vem cada valor: $400$ = passo 1: total de ingressos · $c$ = passo 1: número de camarotes

Passo 3 — Substituir na equação do valor arrecadado

Agora que p está em função de c, substituímos p por 400 - c na segunda equação. Isso elimina p e deixa uma equação apenas com c, que podemos resolver.

Por que esta fórmula: A segunda equação relaciona os preços com o total arrecadado; substituindo p, ela passa a depender só de c.

De onde vem cada valor: $200$ = passo 1: preço da plateia · $400 - c$ = passo 2: expressão de p · $350$ = passo 1: preço do camarote · $92000$ = passo 1: arrecadação total

Passo 4 — Resolver a equação para achar o número de camarotes

Com a equação simplificada, podemos isolar c. Primeiro distribuímos o 200, depois juntamos os termos com c e isolamos c de um lado.

Por que esta fórmula: É uma equação do 1º grau: operamos dos dois lados para isolar a incógnita.

De onde vem cada valor: $80000$ = passo 3: 200 × 400 · $-200c$ = passo 3: 200 × (-c) · $350c$ = passo 3: 350 × c · $92000$ = passo 3: arrecadação total · $150$ = definição: soma de -200c + 350c · $12000$ = definição: 92000 - 80000

Passo 5 — Calcular o valor arrecadado com camarotes

A pergunta não é o número de ingressos, mas o dinheiro que eles renderam. Cada camarote custa R$ 350,00, então multiplicamos a quantidade encontrada pelo preço.

Por que esta fórmula: O valor arrecadado é o produto do número de ingressos pelo preço unitário.

De onde vem cada valor: $c$ = passo 4: 80 ingressos · $350$ = enunciado: preço do camarote

$V_{camarote}$ = R$ 28.000,00

Resposta: R$ 28.000,00 — alternativa B