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Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — VUNESP 2024

MatemáticaDivisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC)
Código
vu206407
Banca
VUNESP
Órgão
Pref SBC
Ano
2024
Cargo
Ag Cult ( )
Na realização de uma atividade cultural, estavam presentes 30 crianças e 18 adultos. Todas essas pessoas foram divididas em grupos, cada grupo com o mesmo número de participantes, sendo esse número o maior possível. Sabendo que não havia crianças e adultos em um mesmo grupo, o número de grupos com crianças superou o número de grupos com adultos em
  1. A2.
  2. B3.
  3. C4.
  4. D5.
  5. E6.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 2.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 2 — alternativa A.

A ideia por trás

O máximo divisor comum (MDC) entre dois números é o maior número que divide ambos sem deixar resto. Ele aparece em problemas de divisão em grupos iguais: se queremos dividir 30 crianças e 18 adultos em grupos do mesmo tamanho, o maior tamanho possível é exatamente o MDC, porque ele é o maior número que cabe exatamente nas duas quantidades.

Para calcular o MDC, fatoramos cada número em fatores primos e multiplicamos os fatores comuns com os menores expoentes. Por exemplo, 30 = 2 × 3 × 5 e 18 = 2 × 3²; os fatores comuns são 2 e 3, com expoentes 1 e 1, então MDC = 2 × 3 = 6. Depois, o número de grupos de cada tipo é a quantidade total dividida pelo tamanho do grupo.

Esta questão pede exatamente isso: encontrar o maior tamanho de grupo (MDC) e depois comparar quantos grupos de crianças e de adultos resultam. A pegadinha é não confundir MDC com MMC e não esquecer de calcular os grupos separadamente.

O que a questão dá

  • 30 crianças

  • 18 adultos

  • cada grupo com o mesmo número de participantes

  • número de participantes por grupo é o maior possível

  • não há crianças e adultos no mesmo grupo

O que queremos: a diferença entre o número de grupos com crianças e o número de grupos com adultos

Passo 1 — Fatorar os números em primos

Para achar o maior tamanho de grupo, precisamos do MDC entre 30 e 18. Fatorar em primos é o primeiro passo porque o MDC é formado pelos fatores comuns.

Por que esta fórmula: Fatorar é escrever o número como produto de primos. 30 = 2 × 3 × 5 e 18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3².

30=2×3×518=2×3230 = 2 \times 3 \times 5 \\ 18 = 2 \times 3^{2}

De onde vem cada valor: 3030 = enunciado: 30 crianças · 1818 = enunciado: 18 adultos

30=2×3×518=2×3×330 = 2 \times 3 \times 5 \\ 18 = 2 \times 3 \times 3

30 = 2 × 3 × 5; 18 = 2 × 3²

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de fatorar completamente, como escrever 18 = 2 × 9, o que não ajuda a achar o MDC.

Passo 2 — Calcular o MDC

Com as fatorações prontas, o MDC é o produto dos fatores comuns com os menores expoentes. Isso dá o maior tamanho de grupo possível.

Por que esta fórmula: O MDC é o produto dos fatores primos que aparecem nas duas fatorações, cada um com o menor expoente. Aqui, 2 e 3 aparecem nos dois, com expoentes 1 e 1.

MDC(30,18)=2×3=6MDC(30, 18) = 2 \times 3 = 6

De onde vem cada valor: 22 = passo 1: fator comum com menor expoente · 33 = passo 1: fator comum com menor expoente

MDC=2×3=6MDC = 2 \times 3 = \boxed{6}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o MMC (90) em vez do MDC, porque a frase 'maior possível' indica MDC, não MMC.

Passo 3 — Calcular o número de grupos de crianças

Cada grupo terá 6 participantes, então dividimos o total de crianças por 6 para saber quantos grupos de crianças existem.

Por que esta fórmula: Número de grupos = total de pessoas ÷ tamanho do grupo. Como os grupos são separados, usamos a quantidade de crianças.

Gcriancas=306G_{criancas} = \frac{30}{6}

De onde vem cada valor: 3030 = enunciado: 30 crianças · 66 = passo 2: MDC = 6

Gcriancas=306=5 gruposG_{criancas} = \frac{30}{6} = \boxed{5\ \text{grupos}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir o total de pessoas (48) por 6, obtendo 8, e depois tentar distribuir — mas os grupos são separados.

Passo 4 — Calcular o número de grupos de adultos

Da mesma forma, dividimos o total de adultos por 6 para saber quantos grupos de adultos existem.

Por que esta fórmula: Número de grupos = total de adultos ÷ tamanho do grupo.

Gadultos=186G_{adultos} = \frac{18}{6}

De onde vem cada valor: 1818 = enunciado: 18 adultos · 66 = passo 2: MDC = 6

Gadultos=186=3 gruposG_{adultos} = \frac{18}{6} = \boxed{3\ \text{grupos}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir o número de grupos de adultos com o de crianças, ou usar o MMC.

Passo 5 — Subtrair os números de grupos

A questão pede a diferença entre o número de grupos com crianças e com adultos, então subtraímos os resultados dos passos 3 e 4.

Por que esta fórmula: Diferença = grupos de crianças − grupos de adultos.

D=Gcriancas−GadultosD = G_{criancas} - G_{adultos}

De onde vem cada valor: GcriancasG_{criancas} = passo 3: 5 · GadultosG_{adultos} = passo 4: 3

D=5−3=2D = 5 - 3 = \boxed{2}
NÃO CAIA NESSA!

Responder o tamanho do grupo (6) ou o número de grupos de crianças (5) em vez da diferença.

Resposta: 2 — alternativa A

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