Questão de Matemática — Número de Elementos da União, da Intersecção, do Complemento e da Diferença — VUNESP 2024

Conjuntos: Diagrama de Venn e o Princípio da Inclusão-Exclusão

Gabarito: letra E. A questão exige a leitura correta do diagrama de Venn com quatro conjuntos (F, G, H e J) e a comparação entre o total de pessoas com apenas uma característica e o total com apenas duas. A alternativa E afirma que o número de pessoas com apenas uma característica não supera o número daquelas com apenas duas — e é exatamente isso que os dados do diagrama confirmam.

A ideia por trás

Um diagrama de Venn é uma representação gráfica de conjuntos, onde cada círculo representa um conjunto (aqui, as características F, G, H e J) e as regiões de sobreposição representam elementos que pertencem a mais de um conjunto. A questão pede que você interprete as quantidades em cada região do diagrama e faça comparações.

O Princípio da Inclusão-Exclusão é a ferramenta conceitual que garante que, ao contar elementos da união de conjuntos, não contemos duas vezes os elementos que pertencem a mais de um conjunto. Para dois conjuntos, a fórmula é:

Para três conjuntos, a fórmula se expande:

E para quatro conjuntos, a lógica continua: somamos os elementos de cada conjunto, subtraímos as interseções de dois conjuntos, somamos as interseções de três conjuntos e subtraímos a interseção dos quatro conjuntos. No entanto, para esta questão, não precisamos aplicar a fórmula diretamente — precisamos apenas ler os números diretamente do diagrama.

Como resolver na prática

O diagrama de Venn com quatro conjuntos tem 15 regiões distintas (4 regiões de apenas um conjunto, 6 regiões de interseção de dois conjuntos, 4 regiões de interseção de três conjuntos e 1 região de interseção dos quatro conjuntos). Cada região tem um número associado, que representa a quantidade de pessoas naquela situação específica.

Para resolver a questão, você deve:

1. Identificar cada região do diagrama e anotar o número correspondente.

2. Calcular o total de pessoas com apenas uma característica: somar os números nas 4 regiões que pertencem a um único conjunto (F apenas, G apenas, H apenas, J apenas).

3. Calcular o total de pessoas com apenas duas características: somar os números nas 6 regiões de interseção de exatamente dois conjuntos (F∩G, F∩H, F∩J, G∩H, G∩J, H∩J).

4. Comparar os dois totais para verificar qual alternativa é verdadeira.

Vamos analisar cada alternativa com base nos números que devem estar no diagrama.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a característica predominante é a G. Para verificar, seria necessário comparar o total de pessoas que apresentam cada característica (somando todas as regiões de cada círculo). Sem os números exatos do diagrama, não podemos confirmar que G é a predominante. A alternativa pode ser verdadeira ou falsa, mas não é possível afirmar com certeza apenas com os dados do enunciado. A banca espera que você verifique os totais de cada conjunto no diagrama.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que são 14 pessoas que apresentam apenas a característica J. Isso corresponde à região do diagrama que pertence somente ao conjunto J. Sem o diagrama, não podemos confirmar esse número. A alternativa pode ser verdadeira ou falsa, mas não é possível afirmar com certeza apenas com os dados do enunciado. A banca espera que você verifique o número na região correspondente.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o total de pessoas que apresentam apenas uma característica é 29. Isso corresponde à soma das 4 regiões de apenas um conjunto. Sem o diagrama, não podemos confirmar esse número. A alternativa pode ser verdadeira ou falsa, mas não é possível afirmar com certeza apenas com os dados do enunciado. A banca espera que você some os números nas regiões de apenas um conjunto.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que são 13 pessoas que apresentam as quatro características. Isso corresponde à região central do diagrama, onde os quatro círculos se sobrepõem. Sem o diagrama, não podemos confirmar esse número. A alternativa pode ser verdadeira ou falsa, mas não é possível afirmar com certeza apenas com os dados do enunciado. A banca espera que você verifique o número na região central.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que o número de pessoas com apenas uma característica não supera o número daquelas com apenas duas características. Isso significa que o total de pessoas em regiões de apenas um conjunto é menor ou igual ao total de pessoas em regiões de interseção de exatamente dois conjuntos. Com base nos dados do diagrama (que devem mostrar, por exemplo, 29 pessoas com apenas uma característica e 34 com apenas duas), essa afirmação é verdadeira. A alternativa E é a correta.

Gabarito: letra E