Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 19 maços — alternativa D.

A ideia por trás

O máximo divisor comum (MDC) entre dois números é o maior número que divide os dois exatamente, sem sobrar resto. Ele aparece em problemas de dividir quantidades em partes iguais do maior tamanho possível: se você tem 360 lápis de uma cor e 210 de outra, o MDC diz qual é o maior tamanho de maço que serve para os dois tipos sem sobrar nenhum lápis.

Para calcular o MDC, fatoramos os números simultaneamente, dividindo apenas pelos primos que dividem ambos. O produto desses fatores comuns é o MDC. Por exemplo, se dois números são divisíveis por 2 e por 3, o MDC inclui 2 × 3. Quando os quocientes finais não têm divisor comum além de 1, paramos. O MDC é o maior tamanho de maço possível.

Esta questão pede exatamente isso: achar o maior tamanho de maço que divide 360 e 210, e depois contar quantos maços de cada tipo resultam. A palavra 'maior possível' é a pista para usar MDC, não MMC.

O que a questão dá

• lápis de cera = 360

• lápis preto = 210

• cada maço com o mesmo número de lápis, o maior possível

• cada maço só com lápis de um mesmo tipo

O que queremos: o número total de maços formados

Passo 1 — Fatorar 360 e 210 simultaneamente

Precisamos do maior número que divide 360 e 210 ao mesmo tempo. Fatorar simultaneamente é o método direto: dividimos os dois números pelos primos que dividem ambos, até não haver mais divisor comum.

Por que esta fórmula: Não é uma fórmula, é o algoritmo do MDC por fatoração simultânea. Dividimos pelos primos comuns e multiplicamos os fatores no final.

fatores comuns: 2, 3 e 5

Passo 2 — Multiplicar os fatores comuns para achar o MDC

Os fatores comuns encontrados no passo 1 são os blocos que formam o maior divisor comum. Multiplicá-los dá o tamanho máximo do maço.

Por que esta fórmula: O MDC é o produto dos fatores primos comuns, cada um elevado ao menor expoente. Aqui, cada fator aparece uma vez, então é só multiplicar.

De onde vem cada valor: $2$ = passo 1: fator comum · $3$ = passo 1: fator comum · $5$ = passo 1: fator comum

Passo 3 — Dividir 360 por 30 para achar os maços de cera

Com o tamanho do maço definido, calculamos quantos maços de cada tipo cabem. Dividir a quantidade total pelo tamanho do maço dá o número de maços.

Por que esta fórmula: Se cada maço tem 30 lápis, o número de maços é a quantidade total dividida por 30.

De onde vem cada valor: $360$ = enunciado: lápis de cera · $30$ = passo 2: MDC

Passo 4 — Dividir 210 por 30 para achar os maços pretos

O mesmo tamanho de maço vale para os lápis preto, então repetimos a divisão com a outra quantidade.

Por que esta fórmula: Mesma lógica: número de maços é a quantidade dividida pelo tamanho do maço.

De onde vem cada valor: $210$ = enunciado: lápis preto · $30$ = passo 2: MDC

Passo 5 — Somar os maços dos dois tipos

A pergunta é o total de maços, então juntamos os maços de cera e os pretos.

Por que esta fórmula: Total é a soma das partes.

De onde vem cada valor: $12$ = passo 3: maços de cera · $7$ = passo 4: maços pretos

Resposta: 19 maços — alternativa D