Questão de Matemática — Equações de Segundo Grau e Equações Biquadradas — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 27 alunos por turma — alternativa A.

A ideia por trás

Uma equação do segundo grau é uma igualdade em que a incógnita aparece elevada ao quadrado, como x². Ela surge quando um problema relaciona duas grandezas cujo produto é conhecido, e uma delas é múltiplo da outra. Aqui, o total de alunos é o produto entre o número de turmas e o número de alunos por turma, e uma dessas quantidades é o triplo da outra.

Se chamarmos o número de turmas de t e o número de alunos por turma de a, o total é a·t. A informação 'a é o triplo de t' vira a = 3t. Substituindo, obtemos 3t·t = 243, ou seja, 3t² = 243. Essa é uma equação do segundo grau, e resolvê-la significa achar o valor de t que torna a igualdade verdadeira. Como t representa uma contagem, só a raiz positiva interessa.

Esta questão pede exatamente isso: montar a equação a partir do enunciado, resolver a equação do segundo grau e depois usar a relação entre as variáveis para achar o número de alunos por turma.

O que a questão dá

• total de alunos do 6º ano = 243

• número de alunos por turma = triplo do número de turmas

O que queremos: o número de alunos em cada turma

Passo 1 — Definir as variáveis do problema

Antes de qualquer conta, precisamos dar nomes às quantidades desconhecidas. Chamar o número de turmas de t e o número de alunos por turma de a transforma o texto em linguagem matemática, permitindo escrever as relações.

Passo 2 — Montar a equação do total de alunos

O total de alunos é o produto do número de turmas pelo número de alunos por turma. Como todas as turmas têm a mesma quantidade, essa multiplicação é direta.

Por que esta fórmula: A relação a·t = 243 vem do significado de multiplicação: se há t turmas e cada uma tem a alunos, o total é a vezes t.

De onde vem cada valor: $a$ = definição: número de alunos por turma (passo 1) · $t$ = definição: número de turmas (passo 1) · $243$ = enunciado: total de alunos do 6º ano

Passo 3 — Traduzir a relação entre alunos e turmas

O enunciado diz que o número de alunos por turma é o triplo do número de turmas. Isso nos dá uma segunda equação que liga a e t, permitindo reduzir o problema a uma única incógnita.

Por que esta fórmula: A frase 'a é o triplo de t' significa que a vale 3 vezes t, ou seja, a = 3t. É importante identificar qual variável é o triplo da outra.

De onde vem cada valor: $a$ = definição: número de alunos por turma (passo 1) · $t$ = definição: número de turmas (passo 1)

Passo 4 — Substituir a na equação do total

Com a = 3t, podemos trocar a na equação a·t = 243, ficando com uma equação apenas em t. Isso é necessário porque não sabemos ainda o valor de nenhuma das duas.

Por que esta fórmula: Substituir é usar a segunda equação dentro da primeira: onde havia a, colocamos 3t.

De onde vem cada valor: $3t$ = passo 3: a = 3t · $t$ = passo 1: número de turmas · $243$ = passo 2: total de alunos

Passo 5 — Isolar o quadrado de t

A equação 3t² = 243 ainda tem o coeficiente 3 multiplicando t². Para resolver, precisamos deixar t² sozinho de um lado.

Por que esta fórmula: Dividir ambos os lados por 3 mantém a igualdade e elimina o coeficiente.

De onde vem cada valor: $243$ = passo 4: 3t² = 243 · $3$ = constante: coeficiente de t² na equação do passo 4

Passo 6 — Extrair a raiz quadrada

Com t² = 81, o próximo passo é achar t. Como t é um número de turmas, só a raiz positiva faz sentido.

Por que esta fórmula: A raiz quadrada é a operação inversa da potência ao quadrado: se t² = 81, então t = √81.

De onde vem cada valor: $81$ = passo 5: t² = 81

Passo 7 — Calcular o número de alunos por turma

Já sabemos que há 9 turmas. Para responder à pergunta, usamos a relação a = 3t para achar quantos alunos há em cada turma.

Por que esta fórmula: A relação a = 3t foi definida no passo 3 e agora é aplicada com o valor de t encontrado.

De onde vem cada valor: $3$ = passo 3: a = 3t · $t$ = passo 6: t = 9

Resposta: 27 alunos por turma — alternativa A