Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2024

MatemáticaQuadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc)
Código
vu206424
Banca
VUNESP
Órgão
APS
Ano
2024
Cargo
Esp Port ( )

Para fazer uma horta em um colégio, foi planejada a demarcação de uma área em forma de um trapézio retângulo conforme mostra a figura a seguir, com as seguintes medidas: AB = 12 m; AD = 13 m; BC = 18 m.

 

Imagem associada para resolução da questão

(Figura fora de escala)

 

Antes da execução, o projeto foi modificado com a expansão do lado AD em mais 5 m (no sentido de A para D) e a expansão do lado BC em mais 9 m (no sentido de B para C) mantendo-se o formato de trapézio retângulo.

 

As alterações no projeto geraram um aumento da medida do contorno da horta em um valor igual a

  1. A2 m.
  2. B5 m.
  3. C9 m.
  4. D14 m.
  5. E16 m.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 16 m.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 16 m — alternativa E.

A ideia por trás

Um trapézio retângulo é um quadrilátero com um par de lados paralelos (as bases) e um dos lados não paralelos perpendicular às bases. Aqui, AB é a altura (12 m), AD e BC são as bases (13 m e 18 m), e CD é o lado inclinado. O perímetro é a soma de todos os lados: AB + BC + CD + AD.

Para achar o lado inclinado CD, usa-se o Teorema de Pitágoras: a diferença entre as bases forma um cateto horizontal, a altura é o outro cateto, e CD é a hipotenusa. Assim, CD = √(altura² + (base maior − base menor)²). Quando as bases aumentam, a diferença entre elas muda, e o lado inclinado também muda — não permanece o mesmo.

Esta questão pede o aumento do perímetro após expandir as bases. É preciso calcular o perímetro antes e depois, lembrando de recalcular o lado inclinado com a nova diferença entre as bases.

O que a questão dá

  • AB = 12 m

  • AD = 13 m

  • BC = 18 m

  • expansão de AD em 5 m

  • expansão de BC em 9 m

O que queremos: o aumento do contorno (perímetro) da horta após as expansões

Passo 1 — Calcular o lado inclinado original

Para achar o perímetro original, precisamos do lado CD, que não foi dado. Como o trapézio é retângulo, a diferença entre as bases forma um triângulo retângulo com a altura.

Por que esta fórmula: O Teorema de Pitágoras relaciona os catetos (altura e diferença das bases) com a hipotenusa (CD).

CD = √(AB^2 + (BC - AD)^2)

De onde vem cada valor: ABAB = enunciado: 12 m · BCBC = enunciado: 18 m · ADAD = enunciado: 13 m

CD = sqrt12^2 + (18 - 13)^2 = √(144 + 25) = √(169) = 13\ m
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair as bases antes de elevar ao quadrado, usando 18² + 12² diretamente.

Passo 2 — Calcular o perímetro original

Com todos os lados conhecidos, somamos para obter o contorno antes da expansão.

Por que esta fórmula: Perímetro é a soma de todos os lados do polígono.

P1=AB+BC+CD+ADP_1 = AB + BC + CD + AD

De onde vem cada valor: ABAB = enunciado: 12 m · BCBC = enunciado: 18 m · CDCD = passo 1: 13 m · ADAD = enunciado: 13 m

P1=12+18+13+13=56 mP_1 = 12 + 18 + 13 + 13 = \boxed{56\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar apenas três lados, esquecendo o lado inclinado.

Passo 3 — Calcular as novas bases

As expansões aumentam as bases, então precisamos dos novos valores para recalcular o lado inclinado e o perímetro.

Por que esta fórmula: Somar o aumento ao valor original.

AD′=AD+5,BC′=BC+9AD' = AD + 5, \quad BC' = BC + 9

De onde vem cada valor: ADAD = enunciado: 13 m · 55 = enunciado: expansão de AD em 5 m · BCBC = enunciado: 18 m · 99 = enunciado: expansão de BC em 9 m

AD′=13+5=18,BC′=18+9=27AD' = 13 + 5 = 18, \quad BC' = 18 + 9 = 27

AD' = 18 m, BC' = 27 m

NÃO CAIA NESSA!

Trocar os aumentos: somar 9 a AD e 5 a BC.

Passo 4 — Calcular o novo lado inclinado

Com as bases maiores, a diferença entre elas muda, então o lado inclinado também muda. Precisamos do novo CD para o perímetro.

Por que esta fórmula: Mesmo Teorema de Pitágoras, agora com as novas bases.

CD' = √(AB^2 + (BC' - AD')^2)

De onde vem cada valor: ABAB = enunciado: 12 m · BC′BC' = passo 3: 27 m · AD′AD' = passo 3: 18 m

CD' = sqrt12^2 + (27 - 18)^2 = √(144 + 81) = √(225) = 15\ m
NÃO CAIA NESSA!

Usar a diferença original (5 m) em vez da nova (9 m).

Passo 5 — Calcular o novo perímetro

Com todos os lados novos, somamos para obter o contorno após a expansão.

Por que esta fórmula: Perímetro é a soma dos lados.

P2=AB+BC′+CD′+AD′P_2 = AB + BC' + CD' + AD'

De onde vem cada valor: ABAB = enunciado: 12 m · BC′BC' = passo 3: 27 m · CD′CD' = passo 4: 15 m · AD′AD' = passo 3: 18 m

P2=12+27+15+18=72 mP_2 = 12 + 27 + 15 + 18 = \boxed{72\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de atualizar o lado inclinado e usar 13 m.

Passo 6 — Calcular o aumento do contorno

O problema pede o aumento, ou seja, a diferença entre os perímetros.

Por que esta fórmula: Aumento = perímetro novo − perímetro original.

ΔP=P2−P1\Delta P = P_2 - P_1

De onde vem cada valor: P2P_2 = passo 5: 72 m · P1P_1 = passo 2: 56 m

ΔP=72−56=16 m\Delta P = 72 - 56 = \boxed{16\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar apenas os aumentos das bases (5 + 9 = 14) e esquecer que o lado inclinado também cresceu 2 m.

Resposta: 16 m — alternativa E

Link permanente: /questoes/vu206424