Questão de Matemática — Frações e Dízimas Periódicas — VUNESP 2024

Frações e problemas com frações

Gabarito: letra C. No último dia, a pessoa deverá realizar metade da tarefa total ($\frac{1}{2}$). Isso porque, após realizar $\frac{1}{3}$ no primeiro dia, restam $\frac{2}{3}$ da tarefa; no segundo dia, ela realiza $\frac{1}{4}$ do que faltava, ou seja, $\frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ da tarefa total. Somando o que já foi feito ($\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$), resta exatamente $\frac{1}{2}$ para o último dia.

O problema envolve o conceito de fração de uma quantidade e a operação de subtração entre frações. Quando dizemos "realizou a terça parte do que precisava ser feito", estamos calculando $\frac{1}{3}$ da tarefa total. Já quando dizemos "realizou a quarta parte do que ainda faltava", a base de cálculo muda: não é mais a tarefa total, mas sim o restante após o primeiro dia. Essa é a principal armadilha da questão — muitos candidatos calculam $\frac{1}{4}$ da tarefa total, esquecendo que o segundo dia se refere ao que faltava.

Vamos resolver passo a passo. Imagine que a tarefa total seja representada por 1 (ou 100%). No primeiro dia, a pessoa realiza $\frac{1}{3}$ da tarefa. Portanto, o que falta após o primeiro dia é:

No segundo dia, ela realiza a quarta parte do que faltava, ou seja, $\frac{1}{4}$ de $\frac{2}{3}$:

Isso significa que, no segundo dia, ela realizou $\frac{1}{6}$ da tarefa total. Agora, somamos o que foi feito nos dois primeiros dias:

Portanto, metade da tarefa já foi concluída. O que resta para o último dia é:

A fração da tarefa total que a pessoa deverá realizar no último dia é $\frac{1}{2}$.

Uma forma alternativa de pensar é usar um valor concreto para a tarefa. Suponha que a tarefa total seja 12 unidades (um múltiplo comum de 3 e 4, para facilitar). No primeiro dia, ela realiza $\frac{1}{3}$ de 12, que são 4 unidades. Faltam 8 unidades. No segundo dia, ela realiza $\frac{1}{4}$ de 8, que são 2 unidades. Somando, ela já fez 4 + 2 = 6 unidades. Restam 6 unidades de 12, ou seja, $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$. Esse método com um valor fictício ajuda a visualizar o problema e evita erros de interpretação.

A pegadinha central é a mudança da base de cálculo entre o primeiro e o segundo dia. No primeiro dia, a fração é sobre o total; no segundo, é sobre o restante. Quem não percebe isso tende a calcular $\frac{1}{4}$ do total e chegar a um resultado errado, como $\frac{5}{12}$ ou algo similar. A banca explora exatamente essa confusão entre "do que precisava ser feito" e "do que ainda faltava".

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\frac{1}{4}$ seria a fração realizada no segundo dia em relação ao que faltava, não em relação à tarefa total. Quem marca esta alternativa provavelmente calculou apenas $\frac{1}{4}$ do total, ignorando que o segundo dia se refere ao restante após o primeiro dia.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\frac{1}{3}$ é a fração realizada no primeiro dia. Esta alternativa confunde o que foi feito no primeiro dia com o que falta para o último dia. O candidato que marca esta opção não considerou o trabalho do segundo dia.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, após o primeiro dia ($\frac{1}{3}$) e o segundo dia ($\frac{1}{6}$ do total), resta exatamente $\frac{1}{2}$ da tarefa para o último dia. A conta: $1 - (\frac{1}{3} + \frac{1}{6}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\frac{2}{3}$ é a fração que faltava após o primeiro dia, não o que falta para o último dia. Esta alternativa confunde o restante após o primeiro dia com o restante final. O candidato que marca esta opção esqueceu de considerar o trabalho realizado no segundo dia.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\frac{3}{4}$ não corresponde a nenhuma etapa do problema. É um distrator que pode surgir de um cálculo equivocado, como somar $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$ e depois subtrair de 1 de forma incorreta, ou pensar que, se faltava $\frac{2}{3}$ e ela fez $\frac{1}{4}$, restaria $\frac{3}{4}$ (o que seria um erro de interpretação).

A regra de ouro para problemas de frações em etapas é: sempre identifique a base de cálculo de cada fração. Pergunte-se: "essa fração é sobre o total ou sobre o restante?". No primeiro dia, é sobre o total; no segundo, sobre o restante. Esse cuidado evita a maioria dos erros.

Gabarito: letra C