Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Frações e Dízimas Periódicas — VUNESP 2024

MatemáticaFrações e Dízimas Periódicas
Código
vu206432
Banca
VUNESP
Órgão
APS
Ano
2024
Cargo
Tec ST ( )
Uma empresa tem 56 funcionários. Em relação a esses funcionários, a razão entre os números de mulheres e de homens é 2/5. A empresa vai contratar 22 novos funcionários e pretende que, em relação ao novo total de funcionários, a razão entre os números de mulheres e homens passe a ser 6/7.   Para que isso aconteça, a diferença entre o número de mulheres e o número de homens, entre os novos contratados, deverá ser igual a
  1. A10.
  2. B15.
  3. C16.
  4. D18.
  5. E20.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 18.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 18 — alternativa D.

A ideia por trás

Razão é uma comparação entre duas quantidades por meio de uma divisão. Quando dizemos que a razão entre mulheres e homens é 2/5, significa que, para cada 2 mulheres, há 5 homens. Essa razão pode ser representada por uma constante de proporcionalidade: se multiplicarmos o número de mulheres por 5 e o de homens por 2, obtemos valores iguais. Ou seja, se M é o número de mulheres e H o de homens, então M/H = 2/5, o que implica 5M = 2H.

A relação fundamental é a proporção: M/H = r, onde r é a razão dada. Isso pode ser reescrito como M = r·H ou, mais útil, como M = (r/(1+r))·(M+H). Ou seja, conhecendo a razão e o total, podemos achar a quantidade de cada grupo. Se a razão aumenta, a fração de mulheres no total aumenta; se diminui, diminui. Essa relação vale para qualquer situação em que a razão entre duas partes de um todo é conhecida.

Esta questão cobra exatamente essa relação: primeiro usamos a razão inicial para descobrir quantas mulheres e homens havia no início, depois usamos a razão final para descobrir quantos haverá no total, e a diferença entre esses números nos dá quantos de cada sexo foram contratados.

O que a questão dá

  • total inicial de funcionários = 56

  • razão inicial mulheres/homens = 2/5

  • novos contratados = 22

  • razão final mulheres/homens = 6/7

O que queremos: a diferença entre o número de mulheres e o número de homens entre os novos contratados

Passo 1 — Descobrir quantas mulheres havia no início

Precisamos saber a composição inicial da empresa para depois comparar com a final. A razão inicial é 2/5, ou seja, para cada 2 mulheres há 5 homens. Isso significa que, se dividirmos o total em 7 partes iguais (2+5), 2 partes são mulheres e 5 são homens.

Por que esta fórmula: A fórmula M_i = (2/(2+5))·56 vem da ideia de que a fração de mulheres no total é a razão dividida pela soma das partes. Como a razão é 2/5, a fração de mulheres é 2/(2+5) = 2/7.

Mi=22+5×56M_i = \frac{2}{2+5} \times 56

De onde vem cada valor: 22 = enunciado: razão inicial mulheres/homens = 2/5 · 2+52+5 = definição: soma dos termos da razão inicial · 5656 = enunciado: total inicial de funcionários

Mi=27×56=16 mulheresM_i = \frac{2}{7} \times 56 = \boxed{16\ \text{mulheres}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 2/5 diretamente sobre 56, o que daria 22,4 — mas a razão é entre mulheres e homens, não entre mulheres e total.

Passo 2 — Descobrir quantos homens havia no início

Com o total inicial e o número de mulheres, o número de homens é o que falta para completar o total. Isso é necessário para depois compararmos com a situação final.

Por que esta fórmula: A fórmula H_i = 56 - M_i é direta: o total é a soma de mulheres e homens, então um é o total menos o outro.

Hi=56−MiH_i = 56 - M_i

De onde vem cada valor: 5656 = enunciado: total inicial · MiM_i = passo 1: 16

Hi=56−16=40 homensH_i = 56 - 16 = \boxed{40\ \text{homens}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair e usar 56 como número de homens.

Passo 3 — Calcular o novo total de funcionários

A razão final se aplica ao novo total, que é a soma do total inicial com os novos contratados. Precisamos desse total para aplicar a razão 6/7.

Por que esta fórmula: A fórmula T_f = 56 + 22 é simples: o novo total é o antigo mais os contratados.

Tf=56+22T_f = 56 + 22

De onde vem cada valor: 5656 = enunciado: total inicial · 2222 = enunciado: novos contratados

Tf=56+22=78 funcionaˊriosT_f = 56 + 22 = \boxed{78\ \text{funcion}á\text{rios}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar e usar 56 como total final.

Passo 4 — Descobrir quantas mulheres haverá no final

Com o novo total e a nova razão, podemos achar o número final de mulheres. A razão 6/7 significa que, para cada 6 mulheres, há 7 homens, então a fração de mulheres no total é 6/(6+7) = 6/13.

Por que esta fórmula: A fórmula M_f = (6/(6+7))·78 usa a mesma lógica do passo 1: a fração de mulheres é a razão dividida pela soma das partes.

Mf=66+7×78M_f = \frac{6}{6+7} \times 78

De onde vem cada valor: 66 = enunciado: razão final mulheres/homens = 6/7 · 6+76+7 = definição: soma dos termos da razão final · 7878 = passo 3: novo total

Mf=613×78=36 mulheresM_f = \frac{6}{13} \times 78 = \boxed{36\ \text{mulheres}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 6/7 diretamente sobre 78, o que daria 66,86 — mas a razão é entre mulheres e homens, não entre mulheres e total.

Passo 5 — Descobrir quantos homens haverá no final

Com o total final e o número final de mulheres, o número final de homens é o que falta para completar o total. Isso é necessário para compararmos com a situação inicial.

Por que esta fórmula: A fórmula H_f = 78 - M_f é direta: o total é a soma de mulheres e homens.

Hf=78−MfH_f = 78 - M_f

De onde vem cada valor: 7878 = passo 3: novo total · MfM_f = passo 4: 36

Hf=78−36=42 homensH_f = 78 - 36 = \boxed{42\ \text{homens}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair e usar 78 como número de homens.

Passo 6 — Calcular quantas mulheres foram contratadas

A diferença entre o número final e o inicial de mulheres nos diz quantas mulheres entraram na empresa. Isso é parte do que precisamos para a resposta.

Por que esta fórmula: A fórmula M_contratadas = M_f - M_i é a definição de variação: o que foi adicionado.

Mcontratadas=Mf−MiM_{contratadas} = M_f - M_i

De onde vem cada valor: MfM_f = passo 4: 36 · MiM_i = passo 1: 16

Mcontratadas=36−16=20 mulheresM_{contratadas} = 36 - 16 = \boxed{20\ \text{mulheres}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir com o número de homens contratados.

Passo 7 — Calcular quantos homens foram contratados

Da mesma forma, a diferença entre o número final e o inicial de homens nos diz quantos homens entraram. Isso completa a informação sobre os novos contratados.

Por que esta fórmula: A fórmula H_contratados = H_f - H_i é a definição de variação.

Hcontratados=Hf−HiH_{contratados} = H_f - H_i

De onde vem cada valor: HfH_f = passo 5: 42 · HiH_i = passo 2: 40

Hcontratados=42−40=2 homensH_{contratados} = 42 - 40 = \boxed{2\ \text{homens}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir com o número de mulheres contratadas.

Passo 8 — Calcular a diferença pedida

A questão pede a diferença entre o número de mulheres e o número de homens entre os novos contratados. Já temos os dois números, então é só subtrair.

Por que esta fórmula: A fórmula Dif = M_contratadas - H_contratadas é a definição de diferença.

Dif=Mcontratadas−HcontratadasDif = M_{contratadas} - H_{contratadas}

De onde vem cada valor: McontratadasM_{contratadas} = passo 6: 20 · HcontratadasH_{contratadas} = passo 7: 2

Dif=20−2=18Dif = 20 - 2 = \boxed{18}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular a diferença entre as razões (6/7 - 2/5) ou aplicar a razão final sobre os 22 novos contratados, o que dá um número errado.

Resposta: 18 — alternativa D

Link permanente: /questoes/vu206432