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Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2024

MatemáticaQuadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc)
Código
vu206433
Banca
VUNESP
Órgão
APS
Ano
2024
Cargo
Tec ST ( )
Dentro de um terreno, foi demarcado um espaço retangular cuja área é igual a 1 000 m2. A medida da largura desse espaço demarcado é 30 metros menor do que a medida do comprimento. Há a necessidade de se alterar a marcação do retângulo original criando um novo retângulo, com 3 metros a mais tanto na medida do comprimento como na medida da largura originais.   Com essas alterações nas medidas, a área desse novo espaço retangular será maior, em relação à área do espaço anteriormente planejado, em
  1. A41,6%.
  2. B37,5%.
  3. C29,6%.
  4. D21,9%.
  5. E14,4%.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 21,9%.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 21,9% — alternativa D.

A ideia por trás

A área de um retângulo é a medida da superfície que ele ocupa, calculada multiplicando o comprimento pela largura. Quando se aumenta cada lado, a área não cresce na mesma proporção simples: ela cresce de forma combinada, porque o acréscimo de um lado multiplica o acréscimo do outro. Por isso, para saber o novo tamanho, primeiro precisamos conhecer as medidas originais.

A relação que governa é A = comprimento × largura. Se chamamos o comprimento de x e a largura de x − 30, a área original vira x·(x − 30) = 1000. Essa é uma equação do segundo grau, que se resolve encontrando o valor de x que satisfaz a igualdade. Depois, com as medidas originais, somamos 3 a cada uma e recalculamos a área. O aumento percentual é dado por (nova área − área original) ÷ área original × 100.

Esta questão exige montar a equação a partir da relação entre as dimensões, resolvê-la para achar o comprimento original e então aplicar o aumento de 3 metros em cada lado para calcular a nova área e a variação percentual.

O que a questão dá

  • área original = 1000 m²

  • largura = comprimento − 30 m

  • aumento de 3 m em cada dimensão

O que queremos: o aumento percentual da área após acrescentar 3 m em cada lado

Passo 1 — Montar a equação da área original

Precisamos descobrir as medidas originais do retângulo. O enunciado diz que a largura é 30 m menor que o comprimento, então se o comprimento é x, a largura é x − 30. Como a área é o produto das duas e vale 1000 m², essa relação vira uma equação que nos permite achar x.

Por que esta fórmula: A área de um retângulo é sempre comprimento × largura. Aqui, substituímos a largura pela expressão x − 30, porque ela depende do comprimento.

x⋅(x−30)=1000x \cdot (x - 30) = 1000

De onde vem cada valor: xx = definição: comprimento original (incógnita) · x−30x - 30 = definição: largura original, 30 m menor que o comprimento · 10001000 = enunciado: área original em m²

x⋅(x−30)=1000x \cdot (x - 30) = 1000
x2−30x=1000x^{2} - 30x = \boxed{1000}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de distribuir o x e escrever x − 30 = 1000, o que daria um comprimento absurdo.

Passo 2 — Reorganizar a equação do segundo grau

Para resolver a equação, precisamos deixá-la na forma padrão ax² + bx + c = 0, porque é assim que aplicamos a fórmula de Bhaskara. Subtraímos 1000 dos dois lados para zerar o lado direito.

Por que esta fórmula: A forma padrão permite identificar os coeficientes a, b e c, que são usados na fórmula resolutiva.

x2−30x−1000=0x^{2} - 30x - 1000 = 0

De onde vem cada valor: x2x^{2} = passo 1: do produto x·x · −30x-30x = passo 1: do produto x·(−30) · −1000-1000 = passo 1: do −1000 que passou para o outro lado

x2−30x−1000=0x^{2} - 30x - 1000 = 0
x2−30x−1000=0x^{2} - 30x - 1000 = \boxed{0}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de trocar o sinal ao mover o 1000, ficando x² − 30x + 1000 = 0.

Passo 3 — Calcular o discriminante

O discriminante Δ = b² − 4ac indica quantas raízes reais a equação tem e é o primeiro passo da fórmula de Bhaskara. Com ele, sabemos se há solução e podemos extrair a raiz quadrada.

Por que esta fórmula: Na equação do segundo grau, o discriminante é sempre b² − 4ac. Aqui a = 1, b = −30 e c = −1000.

Δ=b2−4ac\Delta = b^{2} - 4ac

De onde vem cada valor: bb = passo 2: coeficiente de x: −30 · aa = passo 2: coeficiente de x²: 1 · cc = passo 2: termo independente: −1000

Δ=(−30)2−4⋅1⋅(−1000)\Delta = (-30)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-1000)
Δ=4900\Delta = \boxed{4900}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal de c: usar +1000 em vez de −1000, o que daria Δ = 900 − 4000 = −3100 e nenhuma raiz real.

Passo 4 — Aplicar a fórmula de Bhaskara

Com o discriminante em mãos, a fórmula de Bhaskara dá as duas soluções da equação. Uma delas será negativa e deve ser descartada, pois comprimento não pode ser negativo.

Por que esta fórmula: A fórmula x = (−b ± √Δ) / (2a) resolve qualquer equação do segundo grau. Usamos o sinal de mais e de menos para obter as duas raízes.

x=−b±Δ2ax = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

De onde vem cada valor: bb = passo 2: −30 · Δ\Delta = passo 3: 4900 · aa = passo 2: 1

x=30±49002x = \frac{30 \pm \sqrt{4900}}{2}

x = 50 ou x = −20

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que √4900 = 70 e usar 70² = 4900, confundindo a raiz com o quadrado.

Passo 5 — Escolher a raiz positiva e achar a largura

Comprimento não pode ser negativo, então descartamos x = −20 e ficamos com x = 50 m. A largura é 30 m menor, então subtraímos 30.

Por que esta fórmula: A largura foi definida no passo 1 como x − 30; agora substituímos x pelo valor encontrado.

largura=x−30largura = x - 30

De onde vem cada valor: xx = passo 4: 50 m · 3030 = enunciado: largura é 30 m menor que o comprimento

largura=50−30largura = 50 - 30
largura=20 mlargura = \boxed{20\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair e usar a largura igual ao comprimento, o que daria área 2500 m².

Passo 6 — Calcular as novas dimensões e a nova área

O enunciado pede para aumentar 3 m em cada lado. Somamos 3 ao comprimento e à largura originais e multiplicamos para obter a nova área.

Por que esta fórmula: A área do novo retângulo é o produto das novas medidas: (50+3) × (20+3).

Anovo=(x+3)⋅(largura+3)A_{novo} = (x + 3) \cdot (largura + 3)

De onde vem cada valor: xx = passo 4: 50 m · larguralargura = passo 5: 20 m · 33 = enunciado: aumento de 3 m em cada dimensão

Anovo=53×23=1219 m2A_{novo} = 53 \times 23 = \boxed{1219\ \text{m}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar 3 apenas a uma dimensão, obtendo 53×20 = 1060 ou 50×23 = 1150, o que leva a um aumento percentual errado.

Passo 7 — Calcular o aumento percentual da área

A pergunta final é sobre o quanto a área cresceu em relação à original. O aumento absoluto é a diferença entre as áreas, e a porcentagem é essa diferença dividida pela área original.

Por que esta fórmula: Variação percentual = (valor final − valor inicial) / valor inicial × 100. Aqui, valor inicial é 1000 m² e valor final é 1219 m².

aumento=Anovo−AoriginalAoriginal×100\text{aumento} = \frac{A_{novo} - A_{original}}{A_{original}} \times 100

De onde vem cada valor: AnovoA_{novo} = passo 6: 1219 m² · AoriginalA_{original} = enunciado: 1000 m²

aumento=1219−10001000×100=21,9 %\text{aumento} = \frac{1219 - 1000}{1000} \times 100 = \boxed{21{,}9\ \%}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular a porcentagem sobre a nova área (219/1219 ≈ 18%), o que não é o que o enunciado pede.

Resposta: 21,9% — alternativa D

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