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Questão de Matemática — Número de Elementos da União, da Intersecção, do Complemento e da Diferença — VUNESP 2024

MatemáticaNúmero de Elementos da União, da Intersecção, do Complemento e da Diferença
Código
vu206434
Banca
VUNESP
Órgão
APS
Ano
2024
Cargo
Tec ST ( )
Uma empresa abriu vagas para 3 postos de trabalho: prevenção de acidentes (PA), controle de doenças ocupacionais (CDO) e promoção da saúde dos trabalhadores (PST). Os candidatos poderiam se inscrever em uma ou duas dessas vagas. Sabe-se que, para o posto de PA, houve a inscrição de 53 candidatos; para o posto de CDO, houve 44 inscrições; e para o posto de PST, foram inscritos 42 candidatos. Dentre os inscritos já mencionados, foi divulgado que 21 deles se inscreveram para PA e PST, 19 deles se inscreveram para PA e CDO e 11 deles se inscreveram para CDO e PST.   De posse dessas informações, é correto afirmar que o número total de candidatos que se inscreveram em apenas um desses postos de trabalho é igual a
  1. A39.
  2. B38.
  3. C37.
  4. D36.
  5. E35.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 37.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 37 candidatos — alternativa C.

A ideia por trás

Quando vários conjuntos se sobrepõem, contar elementos sem errar exige cuidado: quem pertence a dois conjuntos não pode ser contado duas vezes. O princípio da inclusão-exclusão é a ferramenta que resolve isso — ele soma os tamanhos de cada conjunto e depois desconta as sobreposições, para que cada pessoa seja contada uma única vez.

Para três conjuntos A, B e C, a fórmula é: n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A∩B) − n(A∩C) − n(B∩C) + n(A∩B∩C). Somam-se os três totais, subtraem-se as interseções dois a dois (porque cada uma foi contada duas vezes) e soma-se a interseção tripla (porque ela foi subtraída três vezes). Se não há interseção tripla, o último termo é zero.

Aqui o enunciado limita as inscrições a uma ou duas vagas, então a interseção tripla é zero. O que se pede é o número de candidatos em apenas um posto — ou seja, o total de candidatos menos aqueles que estão em alguma interseção dupla.

O que a questão dá

  • inscrições em PA = 53

  • inscrições em CDO = 44

  • inscrições em PST = 42

  • inscrições em PA e PST = 21

  • inscrições em PA e CDO = 19

  • inscrições em CDO e PST = 11

  • candidatos podem se inscrever em uma ou duas vagas (interseção tripla = 0)

O que queremos: o número total de candidatos que se inscreveram em apenas um dos postos

Passo 1 — Calcular o total de inscrições

Antes de separar quem se inscreveu em uma ou duas vagas, precisamos do total bruto de inscrições, que é a soma simples dos três números. Esse total conta cada candidato uma vez por vaga em que se inscreveu — quem se inscreveu em duas vagas aparece duas vezes aqui.

Por que esta fórmula: É a soma direta dos três conjuntos, sem descontar nada ainda.

Tinsc=n(PA)+n(CDO)+n(PST)T_{insc} = n(PA) + n(CDO) + n(PST)

De onde vem cada valor: n(PA)n(PA) = enunciado: 53 · n(CDO)n(CDO) = enunciado: 44 · n(PST)n(PST) = enunciado: 42

Tinsc=53+44+42=139 inscric\co~esT_{insc} = 53 + 44 + 42 = \boxed{139\ \text{inscri}çõ\text{es}}
NÃO CAIA NESSA!

Parar aqui e achar que 139 é o número de candidatos — mas quem se inscreveu em duas vagas foi contado duas vezes.

Passo 2 — Calcular o total de candidatos

O total de inscrições conta demais, porque quem se inscreveu em duas vagas aparece duas vezes. Para achar o número real de pessoas, usamos o princípio da inclusão-exclusão: subtraímos cada interseção dupla uma vez, pois cada uma delas foi contada duas vezes na soma. Como não há interseção tripla, nada é somado de volta.

Por que esta fórmula: É a fórmula da união de três conjuntos com interseção tripla zero: soma dos três, menos as três interseções duplas.

n(PA∪CDO∪PST)=n(PA)+n(CDO)+n(PST)−n(PA∩CDO)−n(PA∩PST)−n(CDO∩PST)n(PA \cup CDO \cup PST) = n(PA) + n(CDO) + n(PST) - n(PA \cap CDO) - n(PA \cap PST) - n(CDO \cap PST)

De onde vem cada valor: n(PA)n(PA) = passo 1: 53 · n(CDO)n(CDO) = passo 1: 44 · n(PST)n(PST) = passo 1: 42 · n(PA∩CDO)n(PA \cap CDO) = enunciado: 19 · n(PA∩PST)n(PA \cap PST) = enunciado: 21 · n(CDO∩PST)n(CDO \cap PST) = enunciado: 11

n(PA∪CDO∪PST)=53+44+42−19−21−11=88 candidatosn(PA \cup CDO \cup PST) = 53 + 44 + 42 - 19 - 21 - 11 = \boxed{88\ \text{candidatos}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair alguma interseção dupla, ou subtrair a interseção tripla (que é zero) — o resultado fica maior que o real.

Passo 3 — Calcular quantos se inscreveram em duas vagas

Para saber quem se inscreveu em apenas um posto, precisamos separar os que se inscreveram em duas. Cada interseção dupla representa exatamente essas pessoas — e, como ninguém se inscreveu nas três, não há sobreposição entre essas interseções.

Por que esta fórmula: É a soma das três interseções duplas, pois cada uma é um grupo distinto de candidatos.

Nduas=n(PA∩CDO)+n(PA∩PST)+n(CDO∩PST)N_{duas} = n(PA \cap CDO) + n(PA \cap PST) + n(CDO \cap PST)

De onde vem cada valor: n(PA∩CDO)n(PA \cap CDO) = enunciado: 19 · n(PA∩PST)n(PA \cap PST) = enunciado: 21 · n(CDO∩PST)n(CDO \cap PST) = enunciado: 11

Nduas=19+21+11=51 candidatosN_{duas} = 19 + 21 + 11 = \boxed{51\ \text{candidatos}}
NÃO CAIA NESSA!

Contar a interseção tripla aqui, mas ela é zero — se o enunciado permitisse três vagas, esses candidatos apareceriam em três interseções e seriam contados três vezes.

Passo 4 — Subtrair os de duas vagas do total

O total de candidatos (88) inclui tanto quem se inscreveu em uma vaga quanto quem se inscreveu em duas. Quem se inscreveu em duas não pode entrar na resposta, então subtraímos esse grupo.

Por que esta fórmula: A resposta é a diferença entre o total de candidatos e o número de candidatos em duas vagas.

Napenas um=n(PA∪CDO∪PST)−NduasN_{apenas\ um} = n(PA \cup CDO \cup PST) - N_{duas}

De onde vem cada valor: n(PA∪CDO∪PST)n(PA \cup CDO \cup PST) = passo 2: 88 · NduasN_{duas} = passo 3: 51

Napenas um=88−51=37 candidatosN_{apenas\ um} = 88 - 51 = \boxed{37\ \text{candidatos}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair as interseções do total de inscrições (139 − 51 = 88) e achar que 88 é a resposta — isso dá o total de candidatos, não os de apenas uma vaga.

Resposta: 37 candidatos — alternativa C

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