Questão de Matemática — Equações de Segundo Grau e Equações Biquadradas — VUNESP 2024

Equações do segundo grau: modelando o problema da cotização

Gabarito: letra D. A equação que modela o problema é $x^2 + 2x - 288 = 0$, obtida ao igualar a diferença entre o valor individual antes e depois da entrada dos dois novos amigos a R$ 12,50. A solução positiva dessa equação é $x = 16$, que representa o número inicial de amigos.

O problema é um clássico de modelagem algébrica: traduzir uma situação descrita em palavras para uma equação do segundo grau. A chave está em identificar as duas grandezas que se relacionam: o número de amigos e o valor que cada um paga. Como o preço total do presente é fixo (R$ 1.800,00), o valor individual é obtido dividindo o total pelo número de pessoas. Quando o número de pessoas aumenta, o valor individual diminui — e é exatamente essa relação inversa que a equação captura.

Vamos montar o modelo passo a passo. Seja $x$ o número inicial de amigos. O valor que cada um pagaria inicialmente é $\frac{1800}{x}$. Com a entrada de dois novos amigos, o grupo passa a ter $x + 2$ pessoas, e o novo valor individual é $\frac{1800}{x+2}$. O enunciado afirma que esse novo valor é R$ 12,50 menor que o anterior, ou seja:

Para resolver, o primeiro passo é eliminar os denominadores. Multiplicando todos os termos por $x(x+2)$, obtemos:

Simplificando o lado esquerdo: $1800x + 3600 - 1800x = 3600$. Então:

Dividindo ambos os lados por 12,50, lembrando que $12{,}50 = \frac{25}{2}$:

Portanto:

Expandindo:

E, finalmente, igualando a zero:

Essa é exatamente a equação da alternativa D. Para conferir, podemos resolver a equação pela fórmula resolutiva (conhecida no Brasil como Fórmula de Bhaskara):

Com $a = 1$, $b = 2$ e $c = -288$:

Como $\sqrt{1156} = 34$:

As duas raízes são $x = \frac{32}{2} = 16$ e $x = \frac{-36}{2} = -18$. Como o número de amigos não pode ser negativo, a solução é $x = 16$. De fato, com 16 amigos, cada um pagaria $\frac{1800}{16} = 112{,}50$; com 18 amigos, cada um pagaria $\frac{1800}{18} = 100{,}00$, exatamente R$ 12,50 a menos.

A pegadinha desta questão não está na resolução da equação, mas na modelagem: o candidato precisa montar a equação corretamente a partir do enunciado. As alternativas foram construídas com coeficientes que surgem de erros comuns de manipulação algébrica, como esquecer de multiplicar o 12,50 pelo produto $x(x+2)$ ou errar a divisão de 3600 por 12,50. Guarde o passo a passo: montar a fração, eliminar denominadores, simplificar e igualar a zero — é exatamente nessa sequência que as alternativas se separam.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A equação $x^2 + 3x - 270 = 0$ não corresponde ao modelo. Se o candidato errasse a divisão de 3600 por 12,50 (por exemplo, obtendo 270 em vez de 288) e o coeficiente de $x$ fosse 3, chegaria a essa equação. Mas o produto $x(x+2)$ expande para $x^2 + 2x$, não $x^2 + 3x$. O coeficiente 3 não tem origem no problema.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A equação $x^2 + 8x - 240 = 0$ também não modela o problema. O coeficiente 8 não aparece em nenhuma etapa da dedução, e o termo independente 240 não é o resultado de $\frac{3600}{12{,}50}$. Essa alternativa provavelmente resulta de um erro na manipulação da fração original, como inverter a subtração ou simplificar incorretamente.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A equação $x^2 + 6x - 280 = 0$ é outro distrator. O coeficiente 6 e o termo 280 não derivam do modelo. Se o candidato, ao montar a equação, usasse $x + 6$ em vez de $x + 2$ (confundindo o número de novos amigos), ou errasse o cálculo de $\frac{3600}{12{,}50}$, poderia chegar a coeficientes próximos, mas não exatos. A modelagem correta leva a $x^2 + 2x - 288 = 0$.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A equação $x^2 + 2x - 288 = 0$ é exatamente a que obtivemos: $\frac{1800}{x} - \frac{1800}{x+2} = 12{,}50$ simplifica para $x^2 + 2x - 288 = 0$. A solução positiva é $x = 16$, que confere com o enunciado: 16 amigos pagariam R$ 112,50 cada, e 18 amigos pagariam R$ 100,00 cada, uma redução de R$ 12,50.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A equação $x^2 - 3x - 270 = 0$ inverte o sinal do coeficiente de $x$ e usa 270 em vez de 288. O sinal negativo em $-3x$ não tem fundamento no modelo, pois a expansão de $x(x+2)$ é $x^2 + 2x$, sempre com coeficiente positivo. Essa alternativa pode atrair quem erra a montagem da equação inicial ou a simplificação.

Gabarito: letra D