Matrizes A'A e AA' — propriedades fundamentais
Gabarito: letra B. Para uma matriz real A de ordem 2×3, o produto A'A é uma matriz simétrica 3×3 cujos autovalores são todos não negativos (semidefinida positiva). Isso decorre do fato de que, para qualquer vetor x, vale xᵀ(A'A)x = ‖Ax‖² ≥ 0, e a matriz A'A é sempre diagonalizável por ser simétrica real.
O que está em jogo
A questão explora propriedades de matrizes construídas a partir do produto de uma matriz pela sua transposta. Quando A é 2×3, temos:
A' é 3×2
A'A é 3×3
AA' é 2×2
Ambas são matrizes simétricas, pois (A'A)ᵀ = A'A e (AA')ᵀ = AA'. Pelo teorema espectral, toda matriz simétrica real é diagonalizável e possui autovalores reais.
A propriedade central é que A'A é semidefinida positiva: para qualquer vetor x ∈ ℝ³, temos xᵀ(A'A)x = (Ax)ᵀ(Ax) = ‖Ax‖² ≥ 0. Isso implica que todos os autovalores de A'A são não negativos. O mesmo vale para AA'.
Por que a alternativa B é correta
Como A'A é semidefinida positiva, seus autovalores são todos ≥ 0. Isso é uma consequência direta da definição: se λ é autovalor com autovetor v, então vᵀ(A'A)v = λ‖v‖² ≥ 0, logo λ ≥ 0.
Análise das alternativas
Propriedade | A'A (3×3) | AA' (2×2) | Consequência |
|---|
Simetria | (A'A)ᵀ = A'A | (AA')ᵀ = AA' | Ambas diagonalizáveis (teorema espectral) |
Forma quadrática | xᵀ(A'A)x = ‖Ax‖² ≥ 0 | yᵀ(AA')y = ‖A'y‖² ≥ 0 | Semidefinidas positivas |
Autovalores | λ ≥ 0 | λ ≥ 0 | Nenhum autovalor negativo |
Determinante | det = produto dos λ ≥ 0; como posto(A) ≤ 2, det = 0 | det ≥ 0 | Nunca negativo |
Ordem | 3×3 | 2×2 | A'A ≠ AA' (ordens diferentes) |
Alternativa A — ❌ Incorreta
Afirma que A'A = AA'. Isso é falso em geral. A'A é 3×3 e AA' é 2×2, portanto nem mesmo têm a mesma ordem. A igualdade só valeria em casos muito especiais (por exemplo, se A fosse quadrada e comutasse com A', o que não é o caso aqui).
Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Como demonstrado, A'A é semidefinida positiva, logo todos os seus autovalores são não negativos. Isso é uma propriedade geral: para qualquer matriz real A, o produto A'A tem autovalores ≥ 0.
Alternativa C — ❌ Incorreta
Afirma que A'A é indefinida. Uma matriz indefinida possui autovalores positivos e negativos. Mas A'A é semidefinida positiva, com todos os autovalores ≥ 0, portanto não pode ser indefinida.
Alternativa D — ❌ Incorreta
Afirma que o determinante de A'A é negativo. Como A'A é semidefinida positiva, seu determinante é o produto dos autovalores, todos ≥ 0, logo det(A'A) ≥ 0. Além disso, como A'A é 3×3 e A tem posto no máximo 2, o determinante é zero (a matriz é singular).
Alternativa E — ❌ Incorreta
Afirma que A'A não é diagonalizável. Mas A'A é simétrica real, e pelo teorema espectral toda matriz simétrica real é diagonalizável (possui uma base ortonormal de autovetores). Portanto, A'A é sempre diagonalizável.
Resumo
A propriedade-chave é: para qualquer matriz real A, o produto A'A é simétrica e semidefinida positiva, com autovalores não negativos. Isso resolve a questão diretamente.
Gabarito: letra B