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Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — VUNESP 2024

MatemáticaDivisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC)
Código
vu206443
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Piracicaba
Ano
2024
Cargo
EEsc (Piracicaba)
O setor de fotocópias de um colégio recebeu alguns pacotes de papel sulfite, que serão colocados em pilhas, todas com o mesmo número de pacotes. Desse modo, percebeu-se que seria possível formar pilhas com 6, ou com 8, ou com 10, ou com 12 ou com 15 pacotes em cada uma, e qualquer que fosse a opção, nenhum pacote ficaria fora das pilhas. Sabendo que o número de pacotes não ultrapassa 140, é correto concluir que, se chegarem 24 novos pacotes, o novo número total de pacotes será um número divisível por
  1. A10.
  2. B12.
  3. C13.
  4. D14.
  5. E15.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 12.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 144 é divisível por 12 — alternativa B.

A ideia por trás

O mínimo múltiplo comum (MMC) entre dois ou mais números é o menor número positivo que é múltiplo de todos eles. Ele aparece quando precisamos encontrar um tamanho que sirva para várias divisões exatas, como aqui: o total de pacotes precisa ser divisível por 6, 8, 10, 12 e 15 ao mesmo tempo, então ele é um múltiplo comum desses números.

Para calcular o MMC, fatoramos cada número em primos e pegamos cada fator com o maior expoente que aparece. Por exemplo, 8 = 2³ e 12 = 2²·3, então o 2 entra com expoente 3. O MMC é o produto desses fatores. Se o número procurado tem um limite superior, o MMC pode ser a resposta, mas é preciso conferir se ele cabe no limite; se não, o próximo múltiplo pode ser grande demais.

A questão pede para achar o total inicial de pacotes, que é o MMC de 6, 8, 10, 12 e 15, respeitando o limite de 140. Depois, somamos 24 e testamos a divisibilidade do novo total pelas alternativas.

O que a questão dá

  • pilhas possíveis: 6, 8, 10, 12 ou 15 pacotes

  • número inicial de pacotes não ultrapassa 140

  • chegam 24 novos pacotes

O que queremos: o novo total de pacotes é divisível por qual das alternativas

Passo 1 — Fatorar cada número em primos

Para calcular o MMC, precisamos ver quais fatores primos aparecem e com qual maior expoente. Fatorar é escrever cada número como produto de primos.

Por que esta fórmula: A fatoração é a decomposição em primos, por exemplo, 6 = 2 × 3. Isso é feito dividindo o número pelos menores primos possíveis até sobrar 1.

6 = 2 × 3, 8 = 2³, 10 = 2 × 5, 12 = 2² × 3, 15 = 3 × 5

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de fatorar completamente, como escrever 12 = 2 × 6 em vez de 2² × 3.

Passo 2 — Calcular o MMC

Com as fatorações, o MMC é o produto dos fatores comuns e não comuns com os maiores expoentes. Isso garante que o número seja divisível por todos.

Por que esta fórmula: O MMC é obtido pegando cada fator primo que aparece e o maior expoente. Aqui, 2³, 3¹ e 5¹.

MMC=23×3×5MMC = 2^{3} \times 3 \times 5

De onde vem cada valor: 232^{3} = passo 1: maior expoente de 2 é 3 (de 8) · 33 = passo 1: expoente 1 (de 6, 12, 15) · 55 = passo 1: expoente 1 (de 10, 15)

MMC=8×3×5=120MMC = 8 \times 3 \times 5 = \boxed{120}
NÃO CAIA NESSA!

Usar expoentes menores, como 2² em vez de 2³, o que daria 60 e não dividiria por 8.

Passo 3 — Confirmar que 120 é o total inicial

O enunciado diz que o total não ultrapassa 140. O MMC é 120, que é menor que 140, e o próximo múltiplo é 240, que já passa. Então o total inicial é 120.

Por que esta fórmula: Não há fórmula; é uma verificação de limite.

totalinicial=120total inicial = \boxed{120}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que o total poderia ser outro múltiplo, como 240, mas isso ultrapassaria 140.

Passo 4 — Somar os 24 novos pacotes

O problema pede o novo total após a chegada dos pacotes, então precisamos somar.

Por que esta fórmula: Soma simples: total novo = total inicial + 24.

totalnovo=totalinicial+24total_{novo} = total_{inicial} + 24

De onde vem cada valor: totalinicialtotal_{inicial} = passo 3: 120 · 2424 = enunciado: chegam 24 novos pacotes

totalnovo=120+24=144total_{novo} = 120 + 24 = \boxed{144}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar e testar 120, que não é divisível por 12.

Passo 5 — Testar a divisibilidade por cada alternativa

Com o novo total, precisamos ver qual das opções divide 144 exatamente. Isso é feito testando cada uma.

Por que esta fórmula: Um número é divisível por outro se a divisão é exata, ou seja, o resto é zero. Podemos testar diretamente.

144 ÷ 12 = 12 (exato); 144 ÷ 10 = 14,4; 144 ÷ 13 ≈ 11,08; 144 ÷ 14 ≈ 10,29; 144 ÷ 15 = 9,6

NÃO CAIA NESSA!

Confundir divisibilidade: por exemplo, achar que 144 é divisível por 15 porque é divisível por 3, mas não é por 5.

Resposta: 144 é divisível por 12 — alternativa B

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