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Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — VUNESP 2024

MatemáticaDivisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC)
Código
vu206448
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Piracicaba
Ano
2024
Cargo
EEsc (Piracicaba)
Em uma biblioteca, 108 livros foram colocados em pilhas, de maneira que todas as pilhas ficaram com o mesmo número de livros. Sabendo que o número de livros de cada pilha é o triplo do número de pilhas, então, o número de livros de cada pilha é
  1. A21.
  2. B18.
  3. C15.
  4. D12.
  5. E9.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 18.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 18 livros por pilha — alternativa B.

A ideia por trás

Este problema envolve duas quantidades que se multiplicam: o número de pilhas e a quantidade de livros em cada pilha. Quando todas as pilhas têm o mesmo tamanho, o total de livros é exatamente o produto dessas duas quantidades. A relação entre elas é dada por uma frase: uma é o triplo da outra.

Se chamarmos o número de pilhas de p, então cada pilha tem 3p livros, porque é o triplo. O total é o produto: p × 3p = 3p². Essa é uma equação do segundo grau, mas simples, porque só tem o termo ao quadrado. Para resolvê-la, isolamos p² e tiramos a raiz quadrada, lembrando que o número de pilhas não pode ser negativo.

A questão pede exatamente o valor de 3p, ou seja, o triplo do número de pilhas. O caminho é montar a equação do produto, resolver para p e depois multiplicar por 3.

O que a questão dá

  • total de livros = 108

  • livros por pilha = triplo do número de pilhas

O que queremos: o número de livros em cada pilha

Passo 1 — Chamar o número de pilhas de p

Para transformar o texto em matemática, precisamos dar nome à quantidade desconhecida. Como a frase diz que o número de livros por pilha é o triplo do número de pilhas, é natural escolher o número de pilhas como a incógnita p.

NÃO CAIA NESSA!

Escolher o número de livros por pilha como incógnita e depois inverter a relação — isso leva a uma equação diferente e a uma resposta errada.

Passo 2 — Expressar os livros por pilha em função de p

Agora que temos a incógnita, precisamos traduzir a relação 'o número de livros de cada pilha é o triplo do número de pilhas' para uma expressão algébrica. Isso é essencial para montar a equação do total.

Por que esta fórmula: A palavra 'triplo' significa multiplicar por 3. Se o número de pilhas é p, então o número de livros em cada pilha é 3 vezes p.

L=3pL = 3p

De onde vem cada valor: 33 = enunciado: 'o triplo' · pp = passo 1

NÃO CAIA NESSA!

Inverter a relação, pensando que o número de pilhas é o triplo do número de livros por pilha. Isso daria p = 3L, o que muda toda a equação.

Passo 3 — Montar a equação do total de livros

O total de 108 livros é a soma de todas as pilhas. Como todas têm o mesmo tamanho, o total é o número de pilhas multiplicado pela quantidade em cada uma. Essa é a equação que vamos resolver.

Por que esta fórmula: Multiplicamos p (número de pilhas) por 3p (livros por pilha) porque cada pilha contribui com 3p livros, e há p pilhas. O resultado é o total.

p×3p=108p \times 3p = 108

De onde vem cada valor: pp = passo 1 · 3p3p = passo 2 · 108108 = enunciado: total de livros

p×3p=108p \times 3p = 108
NÃO CAIA NESSA!

Somando em vez de multiplicar: p + 3p = 108. Isso daria 4p = 108, p = 27, e 3p = 81, que não está nas alternativas.

Passo 4 — Resolver a equação para p

A equação 3p² = 108 é uma equação do segundo grau simples. Precisamos isolar p para descobrir quantas pilhas existem.

Por que esta fórmula: Primeiro dividimos os dois lados por 3 para obter p². Depois tiramos a raiz quadrada, lembrando que o número de pilhas é positivo.

p2=1083p^{2} = \frac{108}{3}

De onde vem cada valor: 108108 = passo 3 · 33 = constante: coeficiente de p²

p2=1083p^{2} = \frac{108}{3}
p2=36p^{2} = \boxed{36}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 3 e tirar a raiz de 108, o que daria um número não inteiro.

Passo 5 — Extrair a raiz quadrada

Com p² = 36, precisamos encontrar p. A raiz quadrada de 36 é 6, e descartamos o valor negativo porque não existe quantidade negativa de pilhas.

Por que esta fórmula: A raiz quadrada é a operação inversa do quadrado. Como 6² = 36, p = 6.

p=36p = \sqrt{36}

De onde vem cada valor: 3636 = passo 4

p=36p = \sqrt{36}
p=6p = \boxed{6}
NÃO CAIA NESSA!

Considerar p = -6 também como solução, mas não faz sentido ter -6 pilhas.

Passo 6 — Calcular os livros por pilha

A pergunta é quantos livros há em cada pilha, não quantas pilhas existem. Como já sabemos que p = 6, usamos a relação do passo 2 para achar o valor pedido.

Por que esta fórmula: A relação L = 3p diz que cada pilha tem o triplo do número de pilhas. Substituímos p por 6.

L=3×6L = 3 \times 6

De onde vem cada valor: 33 = passo 2 · 66 = passo 5

L=3×6=18 livrosL = 3 \times 6 = \boxed{18\ \text{livros}}
NÃO CAIA NESSA!

Responder 6 (o número de pilhas) em vez de 18 (o número de livros por pilha).

Resposta: 18 livros por pilha — alternativa B

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