Questão de Matemática — Equações de Primeiro Grau — VUNESP 2024
Matemática›Equações de Primeiro Grau
Código
vu206464
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Piracicaba
Ano
2024
Cargo
Prof (Piracicaba)
Ana, Bel e Liz participaram de um jogo de coletar fichas. O jogo tem um total de 120 fichas e, no início do jogo, cada uma tinha determinada quantia de fichas. Na primeira rodada, Bel ganhou de Ana uma quantia de fichas igual ao que ela (Bel) tinha. Na segunda rodada, Ana perdeu algumas fichas para Liz, de maneira que Liz ficou com o dobro de fichas que tinha. Na terceira rodada, Ana ganhou de Bel uma quantia de fichas igual ao que ela (Ana) tinha. Na quarta rodada, Bel perdeu algumas fichas para Liz, de maneira que Liz ficou com o dobro de fichas que tinha. Na quinta rodada, Ana ganhou de Liz uma quantia de fichas igual ao que ela (Ana) tinha. Na sexta e última rodada, Liz perdeu algumas fichas para Bel, de maneira que Bel ficou com o dobro de fichas que tinha. O jogo terminou com 40 fichas para cada garota. No início do jogo, o número de fichas que Ana tinha excedia o número de fichas que Liz tinha em
A45.
B40.
C35.
D30.
E25.
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GabaritoA — 45.
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Resolução
Gabarito: letra A — a conta chega a 45 fichas — alternativa A.
A ideia por trás
Este problema trata de equações de primeiro grau aplicadas a um jogo de transferência de fichas. A cada rodada, uma jogadora dá à outra uma quantidade igual à que a receptora já possui (dobrando a quantidade da receptora) ou igual à que a doadora possui (dobrando a quantidade da doadora). Como o total de fichas é fixo, a soma das quantias das três jogadoras é sempre 120.
A relação central é a conservação do total: em qualquer momento, A + B + L = 120. Além disso, cada rodada dobra a quantidade de uma jogadora, o que significa que, para inverter uma rodada, a jogadora que dobrou tinha metade do valor atual, e a doadora recebeu de volta essa metade. Por exemplo, se Liz deu a Bel uma quantia igual à que Bel tinha, e Bel terminou com 40, então antes Bel tinha 20 e Liz tinha 40 + 20 = 60.
Esta questão cobra a técnica de trabalhar de trás para frente: partindo do estado final conhecido, invertemos cada rodada para descobrir as quantias iniciais. A diferença pedida é entre as quantias iniciais de Ana e Liz.
O que a questão dá
total de fichas = 120
fichas finais: Ana = 40, Bel = 40, Liz = 40
regras das rodadas: cada rodada dobra a quantidade de uma jogadora
O que queremos: a diferença entre as fichas iniciais de Ana e de Liz
Passo 1 — Inverter a rodada 6
Começamos pelo final porque o estado final é conhecido (40 para cada). Inverter a última rodada nos dá o estado antes dela, e assim sucessivamente.
Por que esta fórmula: Na rodada 6, Liz deu a Bel uma quantia igual à que Bel tinha, então Bel dobrou. Para inverter, Bel tinha metade de 40, ou seja, 20, e Liz deu 20, então Liz tinha 40 + 20 = 60.
Antes da rodada 6: A = 40, B = 20, L = 60
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que a doadora (Liz) perdeu a quantia dada, então ela tinha o valor final mais a quantia dada.
Passo 2 — Inverter a rodada 5
Com o estado antes da rodada 6, invertemos a rodada 5 para obter o estado antes dela.
Por que esta fórmula: Na rodada 5, Ana ganhou de Liz uma quantia igual à que Ana tinha, então Ana dobrou. Para inverter, Ana tinha metade de 40, ou seja, 20, e Liz deu 20, então Liz tinha 60 + 20 = 80.
Antes da rodada 5: A = 20, B = 20, L = 80
NÃO CAIA NESSA!
Confundir quem doou e quem recebeu: aqui Liz doou, então ela perdeu a quantia.
Passo 3 — Inverter a rodada 4
Continuamos invertendo as rodadas na ordem inversa.
Por que esta fórmula: Na rodada 4, Bel perdeu para Liz, e Liz ficou com o dobro. Para inverter, Liz tinha metade de 80, ou seja, 40, e Bel deu 40, então Bel tinha 20 + 40 = 60.
Antes da rodada 4: A = 20, B = 60, L = 40
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que a doadora (Bel) perdeu a quantia, então ela tinha o valor final mais a quantia dada.
Passo 4 — Inverter a rodada 3
Seguimos invertendo as rodadas.
Por que esta fórmula: Na rodada 3, Ana ganhou de Bel uma quantia igual à que Ana tinha, então Ana dobrou. Para inverter, Ana tinha metade de 20, ou seja, 10, e Bel deu 10, então Bel tinha 60 + 10 = 70.
Antes da rodada 3: A = 10, B = 70, L = 40
NÃO CAIA NESSA!
Confundir quem doou e quem recebeu: aqui Bel doou, então ela perdeu a quantia.
Passo 5 — Inverter a rodada 2
Continuamos invertendo.
Por que esta fórmula: Na rodada 2, Ana perdeu para Liz, e Liz ficou com o dobro. Para inverter, Liz tinha metade de 40, ou seja, 20, e Ana deu 20, então Ana tinha 10 + 20 = 30.
Antes da rodada 2: A = 30, B = 70, L = 20
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que a doadora (Ana) perdeu a quantia, então ela tinha o valor final mais a quantia dada.
Passo 6 — Inverter a rodada 1
Última inversão para obter o estado inicial.
Por que esta fórmula: Na rodada 1, Bel ganhou de Ana uma quantia igual à que Bel tinha, então Bel dobrou. Para inverter, Bel tinha metade de 70, ou seja, 35, e Ana deu 35, então Ana tinha 30 + 35 = 65.
Início: A = 65, B = 35, L = 20
NÃO CAIA NESSA!
Confundir quem doou e quem recebeu: aqui Ana doou, então ela perdeu a quantia.
Passo 7 — Calcular a diferença entre Ana e Liz
Agora que temos as quantias iniciais, basta subtrair para responder à pergunta.
Por que esta fórmula: A diferença pedida é A_inicial - L_inicial.
De onde vem cada valor: = passo 6: 65 · = passo 6: 20
NÃO CAIA NESSA!
Subtrair ao contrário (L - A) e obter -45, ou esquecer de subtrair e marcar 65.