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Questão de Matemática — Geometria Espacial — VUNESP 2024

MatemáticaGeometria Espacial
Código
vu206465
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Piracicaba
Ano
2024
Cargo
Prof (Piracicaba)
O volume de um sólido com formato de paralelepípedo reto-retângulo é igual a 800 cm3. Uma das faces desse sólido é um retângulo de lados 10 cm por 5 cm. A soma das áreas de todas as faces desse sólido é igual a
  1. A460 cm2.
  2. B490 cm2.
  3. C520 cm2.
  4. D550 cm2.
  5. E580 cm2.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 580 cm2.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 580 cm² — alternativa E.

A ideia por trás

O paralelepípedo reto-retângulo é uma caixa com seis faces retangulares, como uma caixa de sapatos. Ele tem três dimensões: comprimento, largura e altura. O volume mede o espaço que ele ocupa, em cm³, e a área total é a soma das áreas de todas as seis faces, em cm².

Se as dimensões são a, b e c, o volume é V = a·b·c, pois é o produto das três medidas. A área total é A_t = 2ab + 2ac + 2bc, porque cada face tem uma oposta idêntica: o fundo e a tampa, a frente e o fundo, os dois lados. Dobrar cada área de face garante que contamos todas as seis.

Esta questão dá o volume e duas dimensões (de uma face), então precisamos achar a terceira dimensão usando a fórmula do volume e depois aplicar a fórmula da área total com as três dimensões.

O que a questão dá

  • volume do paralelepípedo = 800 cm³

  • uma face mede 10 cm por 5 cm

O que queremos: a soma das áreas de todas as faces (área total) do paralelepípedo

Passo 1 — Achar a terceira dimensão do paralelepípedo

Para calcular a área total, precisamos das três dimensões. O enunciado dá duas (10 cm e 5 cm) e o volume, então usamos a fórmula do volume para descobrir a que falta.

Por que esta fórmula: O volume de um paralelepípedo é o produto das três dimensões: V = a·b·c. Como conhecemos V e duas dimensões, isolamos a terceira.

V=a⋅b⋅cV = a \cdot b \cdot c

De onde vem cada valor: VV = enunciado: 800 cm³ · aa = enunciado: 10 cm · bb = enunciado: 5 cm

800=10⋅5⋅c800 = 10 \cdot 5 \cdot c
c=16 cmc = \boxed{16\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir 800 por 50 e achar que c = 800/10 = 80, confundindo as dimensões.

Passo 2 — Calcular a área de cada face distinta

A área total é a soma das áreas de todas as faces. Como há três pares de faces iguais, primeiro calculamos a área de cada uma das três faces diferentes.

Por que esta fórmula: Cada face é um retângulo, então sua área é o produto dos dois lados. Temos três combinações: 10×5, 10×16 e 5×16.

Aface1=a⋅b,Aface2=a⋅c,Aface3=b⋅cA_{face1} = a \cdot b, \quad A_{face2} = a \cdot c, \quad A_{face3} = b \cdot c

De onde vem cada valor: aa = enunciado: 10 cm · bb = enunciado: 5 cm · cc = passo 1: 16 cm

Aface1=10⋅5=50,Aface2=10⋅16=160,Aface3=5⋅16=80A_{face1} = 10 \cdot 5 = 50, \quad A_{face2} = 10 \cdot 16 = 160, \quad A_{face3} = 5 \cdot 16 = 80

Aface1A_{face1} = 50 cm², 160 cm² e 80 cm²

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de calcular uma das faces, como a de 5×16, e usar só duas áreas.

Passo 3 — Somar as áreas de todas as seis faces

Cada uma das três áreas calculadas representa uma face, mas cada face tem uma oposta idêntica. Então multiplicamos cada uma por 2 e somamos para obter a área total.

Por que esta fórmula: A fórmula da área total é A_t = 2ab + 2ac + 2bc, que é exatamente o dobro da soma das três áreas distintas.

At=2⋅(Aface1+Aface2+Aface3)A_t = 2 \cdot (A_{face1} + A_{face2} + A_{face3})

De onde vem cada valor: Aface1A_{face1} = passo 2: 50 cm² · Aface2A_{face2} = passo 2: 160 cm² · Aface3A_{face3} = passo 2: 80 cm²

At=2⋅(50+160+80)=2⋅290=580 cm2A_t = 2 \cdot (50 + 160 + 80) = 2 \cdot 290 = \boxed{580\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 2 e responder 290 cm², que não está nas alternativas.

Resposta: 580 cm² — alternativa E

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