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Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2024

MatemáticaQuadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc)
Código
vu206466
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Piracicaba
Ano
2024
Cargo
Prof (Piracicaba)
Considere um ponto F sobre o lado CD de um quadrado ABCD, de lado 12 cm, e um ponto E exterior a esse quadrado, tal que CE = 8 cm, e o ângulo ∠ECD = 90°, conforme mostra a figura. Sabendo que a área do trapézio ABCF excede a área do triângulo CEF em 78 cm2, a área do triângulo AFD éImagem associada para resolução da questão
  1. A51 cm2.
  2. B54 cm2.
  3. C57 cm2.
  4. D60 cm2.
  5. E63 cm2.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 54 cm2.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 54 cm² — alternativa B.

A ideia por trás

Área é a medida da superfície de uma figura, em cm². Para um trapézio, a área é a média das bases vezes a altura; para um triângulo, é a metade do produto da base pela altura. Aqui, as figuras estão encaixadas num quadrado, e a posição do ponto F sobre o lado CD muda as medidas das bases e dos catetos.

A área do trapézio ABCF é A = (base maior + base menor) × altura / 2, com bases AB e FC e altura BC. A área do triângulo retângulo CEF é A = (cateto CE × cateto CF) / 2. Como F está sobre CD, o segmento CF é a base menor do trapézio e também um cateto do triângulo — a mesma medida aparece nas duas figuras. A diferença entre as áreas é dada, o que permite achar a posição de F.

Esta questão cobra montar as expressões das áreas em função de uma incógnita (a posição de F) e usar a diferença dada para resolvê-la. Depois, com a posição de F, calcula-se a área do triângulo AFD.

O que a questão dá

  • lado do quadrado = 12 cm

  • CE = 8 cm

  • ângulo ∠ECD = 90°

  • área do trapézio ABCF excede a área do triângulo CEF em 78 cm²

O que queremos: a área do triângulo AFD

Passo 1 — Chamar de x o segmento DF

O ponto F está sobre o lado CD, mas não sabemos onde. A posição dele determina tanto a base menor do trapézio quanto o cateto do triângulo. Chamar DF de x é a forma de transformar o problema em equação.

NÃO CAIA NESSA!

Não definir a incógnita e tentar adivinhar a posição de F.

Passo 2 — Expressar a área do trapézio ABCF

Precisamos de uma fórmula para a área do trapézio em função de x, porque é essa área que aparece na relação do enunciado.

Por que esta fórmula: A área do trapézio é a média das bases vezes a altura. As bases são AB = 12 e FC = 12 - x, e a altura é BC = 12.

AABCF=(AB+FC)⋅BC2A_{ABCF} = \frac{(AB + FC) \cdot BC}{2}

De onde vem cada valor: ABAB = enunciado: lado do quadrado = 12 cm · FCFC = passo 1: 12 - x · BCBC = enunciado: lado do quadrado = 12 cm

AABCF=(12+(12−x))⋅122=144 −6xcm2A_{ABCF} = \frac{(12 + (12 - x)) \cdot 12}{2} = \boxed{144\ - 6\text{x} \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar FC = x em vez de 12 - x, invertendo as bases.

Passo 3 — Expressar a área do triângulo CEF

O triângulo CEF também tem área dependente de x, e a diferença entre as duas áreas é o que o enunciado fornece.

Por que esta fórmula: O triângulo é retângulo em C, então a área é metade do produto dos catetos CE e CF.

ACEF=CE⋅CF2A_{CEF} = \frac{CE \cdot CF}{2}

De onde vem cada valor: CECE = enunciado: 8 cm · CFCF = passo 1: 12 - x

ACEF=8⋅(12−x)2=48 −4xcm2A_{CEF} = \frac{8 \cdot (12 - x)}{2} = \boxed{48\ - 4\text{x} \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2, ou usar CF = x.

Passo 4 — Montar a equação da diferença

O enunciado diz que a área do trapézio excede a do triângulo em 78 cm². Isso vira uma equação que permite achar x.

Por que esta fórmula: A diferença entre as duas áreas é dada, então subtraímos as expressões e igualamos a 78.

AABCF−ACEF=78A_{ABCF} - A_{CEF} = 78

De onde vem cada valor: AABCFA_{ABCF} = passo 2: 144 - 6x · ACEFA_{CEF} = passo 3: 48 - 4x · 7878 = enunciado: excede em 78 cm²

(144−6x)−(48−4x)=78(144 - 6x) - (48 - 4x) = 78
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao subtrair: (144 - 6x) - (48 - 4x) = 144 - 6x - 48 + 4x, não 144 - 6x - 48 - 4x.

Passo 5 — Resolver a equação para x

Com a equação montada, isolamos x para descobrir a posição de F.

Por que esta fórmula: Simplificamos a equação e isolamos x.

96−2x=7896 - 2x = 78

De onde vem cada valor: 9696 = passo 4: 144 - 48 (constante resultante da subtração) · 2x2x = passo 4: 6x - 4x · 7878 = enunciado

96−2x=7896 - 2x = 78
x=9 cmx = \boxed{9\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a aritmética: 96 - 78 = 18, então 2x = 18, x = 9.

Passo 6 — Calcular a área do triângulo AFD

Agora que sabemos DF = 9 cm, podemos calcular a área pedida. O triângulo AFD é retângulo em D, com catetos AD e DF.

Por que esta fórmula: A área de um triângulo retângulo é metade do produto dos catetos.

AAFD=AD⋅DF2A_{AFD} = \frac{AD \cdot DF}{2}

De onde vem cada valor: ADAD = enunciado: lado do quadrado = 12 cm · DFDF = passo 5: 9 cm

AAFD=12⋅92=54 cm2A_{AFD} = \frac{12 \cdot 9}{2} = \boxed{54\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar DF = 3 (erro de conta no passo anterior) ou esquecer de dividir por 2.

Resposta: 54 cm² — alternativa B

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