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Questão de Matemática — Frações e Dízimas Periódicas — VUNESP 2024

MatemáticaFrações e Dízimas Periódicas
Código
vu206468
Banca
VUNESP
Órgão
Pref GRU
Ano
2024
Cargo
Eng ( )
Certo dia, em uma obra, trabalhavam determinado número de operários, dos quais 5\over7 estavam usando todos os equipamentos de segurança exigidos por lei. Entre os demais operários, 3\over4usavam somente parte dos equipamentos de segurança exigidos por lei, e os outros 3 operários não utilizavam equipamento algum. O número de operários que usavam somente parte dos equipamentos de segurança exigidos por lei era
  1. A30.
  2. B24.
  3. C18.
  4. D12.
  5. E9.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 9.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 9 operários — alternativa E.

A ideia por trás

Uma fração é uma parte de um todo. Quando dizemos '5/7 dos operários', o todo é o número total de operários; quando dizemos '3/4 dos demais', o todo é o grupo dos que não usavam todos os equipamentos. É essencial identificar a que todo cada fração se refere.

Para achar uma fração de um número, multiplicamos a fração pelo número. Se uma fração do total é conhecida, o restante é 1 menos essa fração. Por exemplo, se 5/7 usam todos, sobram 2/7 do total. Aplicar frações em sequência exige usar o resultado anterior como novo todo.

Esta questão cobra exatamente essa distinção: a primeira fração é do total, a segunda é do grupo restante. Precisamos descobrir o total a partir do número de operários que não usavam nada, e então calcular a fração pedida.

O que a questão dá

  • 5/7 dos operários usavam todos os equipamentos

  • entre os demais, 3/4 usavam somente parte

  • os outros 3 operários não usavam equipamento algum

O que queremos: o número de operários que usavam somente parte dos equipamentos

Passo 1 — Calcular a fração dos que não usavam todos

O enunciado divide os operários em dois grupos: os que usavam todos os equipamentos e os demais. Para trabalhar com os demais, precisamos saber que fração do total eles representam.

Por que esta fórmula: Se 5/7 usavam todos, o restante é o que falta para completar 1 (o total). Subtraímos a fração de 1.

demais=1−57\text{demais} = 1 - \frac{5}{7}

De onde vem cada valor: 57\frac{5}{7} = enunciado: 5/7 usavam todos

demais=1−57=77−57=27=2 /7dototal\text{demais} = 1 - \frac{5}{7} = \frac{7}{7} - \frac{5}{7} = \frac{2}{7} = \boxed{2\ /7 \text{do} \text{total}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair de 1 e usar 5/7 como se fosse o grupo dos demais.

Passo 2 — Descobrir a fração dos que não usavam nada

Entre os demais, 3/4 usavam somente parte, então o restante não usava nada. Precisamos dessa fração porque sabemos que ela corresponde a 3 operários.

Por que esta fórmula: Se 3/4 usavam parte, o que não usava nada é 1 - 3/4.

sem nada=1−34\text{sem nada} = 1 - \frac{3}{4}

De onde vem cada valor: 34\frac{3}{4} = enunciado: 3/4 dos demais usavam somente parte

sem nada=1−34=44−34=14=1 /4dosdemais\text{sem nada} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} = \boxed{1\ /4 \text{dos} \text{demais}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir e achar que 3/4 é a fração dos que não usavam nada.

Passo 3 — Montar a equação para o total

Sabemos que 1/4 dos demais (que são 2/7 do total) corresponde a 3 operários. Isso nos dá uma equação para achar o total T.

Por que esta fórmula: A fração dos que não usavam nada é 1/4 dos demais, e os demais são 2/7 do total. Multiplicamos as frações para obter a fração do total que não usava nada, e igualamos a 3.

14×27×T=3\frac{1}{4} \times \frac{2}{7} \times T = 3

De onde vem cada valor: 14\frac{1}{4} = passo 2 · 27\frac{2}{7} = passo 1 · TT = definição: total de operários · 33 = enunciado: 3 operários não usavam nada

14×27×T=3\frac{1}{4} \times \frac{2}{7} \times T = 3
T=42T = \boxed{42}
NÃO CAIA NESSA!

Aplicar a fração sobre o total em vez de sobre os demais, por exemplo calcular 3/4 de T.

Passo 4 — Calcular quantos usavam somente parte

Agora que sabemos o total, podemos calcular o número de operários que usavam somente parte: 3/4 dos demais, e os demais são 2/7 do total.

Por que esta fórmula: Multiplicamos as frações em sequência: primeiro a fração dos demais sobre o total, depois a fração dos que usavam parte sobre os demais.

parte=34×27×T\text{parte} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{7} \times T

De onde vem cada valor: 34\frac{3}{4} = enunciado: 3/4 dos demais usavam somente parte · 27\frac{2}{7} = passo 1 · TT = passo 3: 42

parte=34×27×42=34×12=9=9 operaˊrios\text{parte} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{7} \times 42 = \frac{3}{4} \times 12 = 9 = \boxed{9\ \text{oper}á\text{rios}}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular 3/4 do total (42) em vez de 3/4 dos demais (12), o que daria 31,5 — nem inteiro.

Resposta: 9 operários — alternativa E

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