Questão de Matemática — Sistemas Lineares — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 60% — alternativa A.

A ideia por trás

Um sistema linear é um conjunto de equações que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo, com as mesmas incógnitas. Aqui as incógnitas são as quantidades de engenheiros (E), estagiários (S) e operários (O). Cada frase do enunciado vira uma equação, e resolver o sistema é achar os valores que satisfazem todas elas de uma vez.

A relação central é a soma: E + S + O = 20. As outras duas equações expressam proporções: E = O/4 e S = (E + O)/3. Quando uma incógnita é dada em função de outra, podemos substituí-la nas demais equações, reduzindo o número de incógnitas até sobrar uma equação com uma só variável. Esse método é chamado de substituição e funciona porque as equações são lineares (não há potências ou produtos entre incógnitas).

Esta questão cobra exatamente a montagem do sistema a partir do texto e a resolução por substituição. Depois de achar o número de operários, ainda é preciso converter a fração em porcentagem, que é a pergunta final.

O que a questão dá

• total de contratações = 20

• engenheiros = 1/4 dos operários

• estagiários = 1/3 da soma de engenheiros e operários

O que queremos: a porcentagem de operários entre as 20 contratações

Passo 1 — Montar as equações do sistema

Antes de qualquer conta, precisamos transformar as frases do enunciado em equações. Cada incógnita representa uma categoria de contratação, e cada relação vira uma linha do sistema.

Por que esta fórmula: A primeira equação vem do total: E + S + O = 20. A segunda vem de 'engenheiros = 1/4 dos operários', que se escreve E = O/4. A terceira vem de 'estagiários = 1/3 da soma de engenheiros e operários', ou seja, S = (E + O)/3.

De onde vem cada valor: $E$ = definição: número de engenheiros · $S$ = definição: número de estagiários · $O$ = definição: número de operários · $20$ = enunciado: total de contratações

Passo 2 — Expressar E e S em função de O

Com três incógnitas, a equação do total ainda não dá para resolver. Como E e S já estão definidos em termos de O, podemos reescrever tudo com uma única incógnita.

Por que esta fórmula: Da segunda equação, E = O/4. Então E + O = O/4 + O = 5O/4. Substituindo na terceira, S = (1/3) · (5O/4) = 5O/12.

De onde vem cada valor: $O$ = definição: número de operários · $5O/12$ = passo 1: S = (E + O)/3 com E = O/4

Passo 3 — Substituir na equação do total

Agora que E e S estão em função de O, a equação E + S + O = 20 vira uma equação só com O. Esse é o momento de juntar tudo.

Por que esta fórmula: Substituímos as expressões do passo 2 na primeira equação: O/4 + 5O/12 + O = 20. Para somar frações, usamos o denominador comum 12.

De onde vem cada valor: $O/4$ = passo 2: E = O/4 · $5O/12$ = passo 2: S = 5O/12 · $O$ = definição: número de operários · $20$ = enunciado: total de contratações

Passo 4 — Resolver a equação para achar O

Com a equação em uma única variável, podemos isolá-la. Somamos os termos com O e dividimos pelo coeficiente.

Por que esta fórmula: Somando as frações: (3 + 5 + 12)O/12 = 20O/12 = 20. Multiplicando ambos os lados por 12 e dividindo por 20, obtemos O = 12.

De onde vem cada valor: $20O/12$ = passo 3: soma das frações · $20$ = passo 3: lado direito da equação

Passo 5 — Calcular a porcentagem de operários

A pergunta final é a porcentagem, não o número absoluto. Com O = 12 e o total de 20, basta dividir e multiplicar por 100.

Por que esta fórmula: Porcentagem é a razão entre a parte e o todo, vezes 100: (12/20) · 100 = 0,6 · 100 = 60%.

De onde vem cada valor: $O$ = passo 4: 12 operários · $total$ = enunciado: 20 contratações

Resposta: 60% — alternativa A