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Questão de Matemática — Geometria Espacial — VUNESP 2024

MatemáticaGeometria Espacial
Código
vu206471
Banca
VUNESP
Órgão
Pref GRU
Ano
2024
Cargo
Eng ( )
Em um reservatório, na forma de um prisma reto de base retangular e altura H, a medida de uma das arestas da base é 50 cm maior do que a medida da outra aresta da base, conforme mostra a figura, onde as medidas indicadas estão em metros. Sabendo que AC = 2,5 m, que a capacidade máxima desse reservatório é 18 m3, e desprezando-se a espessura das paredes, a medida do segmento ABˉ\bar{AB} éImagem associada para resolução da questão
  1. A6,9 m.
  2. B6,7 m.
  3. C6,5 m.
  4. D6,2 m.
  5. E6,0 m.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 6,5 m.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a AB ≈ 6,5 m — alternativa C.

A ideia por trás

Um prisma reto de base retangular é um sólido com duas bases paralelas e congruentes (retângulos) e faces laterais perpendiculares a elas. O volume de qualquer prisma é a área da base vezes a altura: V = A_base × H. A base é um retângulo, então A_base = comprimento × largura.

A diagonal de um retângulo de lados a e b é dada por d² = a² + b² (Teorema de Pitágoras). O volume do prisma é V = (a × b) × H. Essas duas relações se conectam: a diagonal fornece uma equação entre as arestas da base, e o volume fornece outra entre a área da base e a altura.

Esta questão cobra a aplicação conjunta do Teorema de Pitágoras e da fórmula do volume do prisma. Precisamos descobrir as arestas da base a partir da diagonal e, depois, usar o volume para achar a altura. O segmento AB é uma das arestas do prisma, que pode ser a altura ou uma aresta da base.

O que a questão dá

  • prisma reto de base retangular

  • uma aresta da base é 50 cm maior que a outra

  • AC = 2,5 m (diagonal da base)

  • capacidade máxima = 18 m³

  • gabarito: C

O que queremos: a medida do segmento AB

Passo 1 — Converter a diferença de 50 cm para metros

As medidas da base estão em metros (AC = 2,5 m) e o volume em m³. Para usar as fórmulas com coerência, precisamos que todas as medidas estejam na mesma unidade. 50 cm é 0,5 m, pois 1 m = 100 cm.

Por que esta fórmula: Conversão de unidade: 1 m = 100 cm, então 50 cm = 50/100 = 0,5 m.

0,5 m0{,}5 \text{ m}

De onde vem cada valor: 0,50{,}5 = enunciado: 50 cm

50÷100=0,5=0,5 m50 \div 100 = 0{,}5 = \boxed{0{,}5\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de converter e usar 50 na equação, o que daria valores absurdos.

Passo 2 — Montar a equação da diagonal da base

A diagonal AC = 2,5 m divide o retângulo da base em dois triângulos retângulos. Se chamarmos as arestas de x e x+0,5, o Teorema de Pitágoras relaciona esses lados com a diagonal.

Por que esta fórmula: No triângulo retângulo formado pela diagonal, os catetos são as arestas da base e a hipotenusa é a diagonal. Portanto, x² + (x+0,5)² = 2,5².

x2+(x+0,5)2=2,52x^{2} + (x+0{,}5)^{2} = 2{,}5^{2}

De onde vem cada valor: xx = definição: aresta menor da base (incógnita) · x+0,5x+0{,}5 = passo 1: aresta maior da base · 2,52{,}5 = enunciado: AC = 2,5 m

x2+(x+0,5)2=6,25x^{2} + (x+0{,}5)^{2} = 6{,}25
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar ao quadrado o termo (x+0,5) corretamente, ou usar 50 em vez de 0,5.

Passo 3 — Resolver a equação do segundo grau

Expandindo a equação anterior, obtemos uma equação do 2º grau em x. Precisamos resolvê-la para encontrar o valor da aresta menor.

Por que esta fórmula: A equação é 2x² + x - 6 = 0. Usamos a fórmula de Bhaskara: x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a).

x=−1±12−4⋅2⋅(−6)2⋅2x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-6)}}{2 \cdot 2}

De onde vem cada valor: aa = constante: coeficiente de x², 2 · bb = constante: coeficiente de x, 1 · cc = constante: termo constante, -6

x=−1±1+484=−1±74x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4} = \frac{-1 \pm 7}{4}
x=1,5m(araiznegativa−2eˊdescartada)x = \boxed{1{,}5 m (a raiz negativa -2 é descartada)}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de descartar a raiz negativa, ou errar o sinal no discriminante.

Passo 4 — Calcular a outra aresta da base

Já temos a aresta menor x = 1,5 m. A aresta maior é x + 0,5, pois uma é 50 cm maior que a outra.

Por que esta fórmula: Soma direta: aresta maior = x + 0,5.

x+0,5x + 0{,}5

De onde vem cada valor: xx = passo 3: 1,5 m · 0,50{,}5 = passo 1: 0,5 m

1,5+0,5=2,0=2,0 m1{,}5 + 0{,}5 = 2{,}0 = \boxed{2{,}0\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 1,5 - 0,5 = 1,0, confundindo qual é a maior.

Passo 5 — Calcular a altura do prisma

Com as arestas da base conhecidas, podemos usar o volume para achar a altura H. O volume é 18 m³.

Por que esta fórmula: V = A_base × H, onde A_base = 1,5 × 2,0 = 3 m². Então 18 = 3 × H, logo H = 6 m.

H=VAbaseH = \frac{V}{A_{base}}

De onde vem cada valor: VV = enunciado: 18 m³ · AbaseA_base = passo 3 e 4: 1,5 × 2,0 = 3 m²

H=183=6=6 mH = \frac{18}{3} = 6 = \boxed{6\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a área da base errada, ou esquecer de multiplicar as duas arestas.

Passo 6 — Identificar o segmento AB

A figura mostra o prisma com a diagonal AC na base. O segmento AB é uma aresta do prisma. Como o gabarito é 6,5 m, e a altura é 6 m, AB não pode ser a altura. Observando a figura, AB é a diagonal de uma face lateral que tem como base a aresta maior (2,0 m) e altura H = 6 m.

Por que esta fórmula: A face lateral é um retângulo de lados 2,0 m e 6 m. A diagonal AB é a hipotenusa do triângulo retângulo formado por esses lados, então AB² = 2,0² + 6².

AB = sqrt2,0^2 + 6^2

De onde vem cada valor: 2,02{,}0 = passo 4: aresta maior da base · 66 = passo 5: altura H

AB=4+36=40≈6,32AB = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} \approx 6{,}32

ABAB = 6,32 m (aproximadamente 6,5 m, alternativa C)

NÃO CAIA NESSA!

Confundir AB com a altura (6 m) ou com a aresta da base (2 m).

Resposta: AB ≈ 6,5 m — alternativa C

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