Questão de Matemática — Regra de Três Composta — VUNESP 2024

Regra de Três Composta: Máquinas, Tempo e Produção

Gabarito: letra D — a conta chega a 5 horas e 20 minutos. A produção é diretamente proporcional ao número de máquinas e ao tempo trabalhado; logo, para produzir 200 unidades com 5 máquinas, o tempo necessário é de $\frac{16}{3}$ horas, ou seja, 5 horas e 20 minutos.

A ideia por trás

A regra de três composta é um método para encontrar um valor desconhecido quando três ou mais grandezas se relacionam. Aqui, temos três grandezas: número de máquinas, tempo de trabalho e quantidade produzida. O segredo é identificar quais grandezas são diretamente proporcionais entre si e quais são inversamente proporcionais.

Diretamente proporcionais: quando uma aumenta, a outra aumenta na mesma proporção. Inversamente proporcionais: quando uma aumenta, a outra diminui na mesma proporção.

No nosso caso:

• Máquinas e Produção: se aumentarmos o número de máquinas, a produção aumenta. São diretamente proporcionais.

• Tempo e Produção: se aumentarmos o tempo de trabalho, a produção aumenta. São diretamente proporcionais.

• Máquinas e Tempo: se aumentarmos o número de máquinas, o tempo necessário para uma mesma produção diminui. São inversamente proporcionais.

Montando a Tabela

Vamos organizar os dados do enunciado em uma tabela, colocando a grandeza desconhecida (tempo) como $X$:

Resolvendo

Como o tempo é inversamente proporcional ao número de máquinas, invertemos a coluna de máquinas na hora de montar a equação. A equação fica:

Simplificando:

Portanto:

Convertendo $\frac{16}{3}$ horas para horas e minutos:

Análise das Alternativas

Alternativa A — ❌ Incorreta

4 horas e 15 minutos — Esse valor corresponde a $4,25$ horas, que é o resultado de um erro comum: inverter a proporção de máquinas sem inverter a de produção, ou seja, tratar tudo como diretamente proporcional. Se o aluno montasse $\frac{4}{X} = \frac{3}{5} \times \frac{90}{200}$, chegaria a $X = \frac{4 \times 5 \times 200}{3 \times 90} = \frac{4000}{270} \approx 14,8$ horas, o que não bate. Mas, se ele apenas fizesse $4 \times \frac{5}{3} \times \frac{200}{90} = 4 \times 1,666 \times 2,222 \approx 14,8$, também não. O valor $4,25$ surge de um raciocínio incorreto, como considerar que o aumento de máquinas reduz o tempo na mesma proporção do aumento de produção, sem considerar a relação inversa corretamente.

Alternativa B — ❌ Incorreta

4 horas e 30 minutos — Esse valor corresponde a $4,5$ horas. É um distrator que pode vir de um erro de arredondamento ou de uma simplificação incorreta. Por exemplo, se o aluno calcular $\frac{4 \times 200}{90} = 8,88$ horas e depois dividir por 2 (por causa das 5 máquinas em vez de 3), chegaria a $4,44$ horas, que arredondado daria $4,5$ horas. Mas o correto é considerar a proporção inversa de máquinas, não uma divisão simples.

Alternativa C — ❌ Incorreta

4 horas e 45 minutos — Esse valor corresponde a $4,75$ horas. Pode ser resultado de um erro na conversão de fração para minutos, como considerar $\frac{3}{4}$ de hora como 45 minutos, mas aplicado ao valor errado. Ou pode vir de um cálculo onde o aluno usa $\frac{4}{X} = \frac{3}{5} \times \frac{200}{90}$, o que daria $X = \frac{4 \times 5 \times 90}{3 \times 200} = \frac{1800}{600} = 3$ horas, e depois soma algo incorretamente.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

5 horas e 20 minutos — Este é o valor correto, como calculado acima. A produção é diretamente proporcional ao tempo e ao número de máquinas, mas o tempo é inversamente proporcional ao número de máquinas. Montando a equação corretamente, chegamos a $X = \frac{16}{3}$ horas, que equivale a 5 horas e 20 minutos.

Alternativa E — ❌ Incorreta

5 horas e 40 minutos — Esse valor corresponde a $5,666$ horas. Pode ser resultado de um erro na conversão de $\frac{16}{3}$ para horas e minutos, como considerar $\frac{1}{3}$ de hora como 40 minutos (o que é incorreto, pois $\frac{1}{3}$ de hora são 20 minutos). Ou pode vir de um cálculo onde o aluno usa $\frac{4}{X} = \frac{3}{5} \times \frac{90}{200}$ e erra na simplificação, chegando a $X = \frac{4 \times 5 \times 200}{3 \times 90} = \frac{4000}{270} \approx 14,8$ horas, e depois converte errado.

Gabarito: letra D