Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 30 cm² — alternativa E.

A ideia por trás

Um trapézio é um quadrilátero com dois lados paralelos, chamados de bases. No trapézio retângulo, um dos lados não paralelos é perpendicular às bases, formando dois ângulos retos. A área de qualquer trapézio é a média das bases multiplicada pela altura: A = (B + b) · h / 2, onde B é a base maior, b a base menor e h a distância entre elas.

Quando um feixe de retas paralelas corta os lados de um triângulo, ele divide esses lados em segmentos proporcionais. Isso é consequência da semelhança de triângulos: os triângulos formados pelas paralelas e pelos lados do triângulo original têm os mesmos ângulos, logo são semelhantes. Assim, a razão entre dois lados correspondentes é constante, o que permite descobrir medidas desconhecidas a partir de uma razão conhecida.

Esta questão usa essa semelhança para achar as bases do trapézio CDEF a partir das medidas dos lados do triângulo ADE e das posições das retas paralelas. Depois, aplica a fórmula da área do trapézio.

O que a questão dá

• triângulo retângulo ADE

• retas r, s e t paralelas entre si

• pontos C, F, B e G sobre os lados do triângulo

• área do trapézio retângulo CDEF é pedida

O que queremos: a área do trapézio retângulo CDEF

Passo 1 — Aplicar a semelhança de triângulos

As retas paralelas criam triângulos semelhantes: por exemplo, o triângulo ACF é semelhante ao triângulo ADE, e o triângulo ABF também. Isso permite relacionar os lados correspondentes e encontrar as medidas que faltam para o trapézio.

Por que esta fórmula: A semelhança garante que a razão entre lados correspondentes é constante. Se conhecemos a razão entre um lado do triângulo menor e o lado correspondente do triângulo maior, podemos achar os outros lados.

De onde vem cada valor: $AC$ = enunciado: medida fornecida na figura · $AD$ = enunciado: medida fornecida na figura · $AF$ = enunciado: medida fornecida na figura · $AE$ = enunciado: medida fornecida na figura · $CF$ = enunciado: medida fornecida na figura · $DE$ = enunciado: medida fornecida na figura

Passo 2 — Calcular as bases do trapézio

O trapézio CDEF tem bases CD e EF. CD é a diferença entre AD e AC, e EF é a diferença entre AE e AF. Com as medidas obtidas pela semelhança, calculamos esses comprimentos.

Por que esta fórmula: As bases são segmentos sobre os lados do triângulo, então subtraímos as partes para obter o comprimento do trapézio.

De onde vem cada valor: $AD$ = enunciado: medida fornecida na figura · $AC$ = enunciado: medida fornecida na figura · $AE$ = enunciado: medida fornecida na figura · $AF$ = enunciado: medida fornecida na figura

Passo 3 — Determinar a altura do trapézio

A altura do trapézio é a distância entre as bases, que é o segmento DE, pois o trapézio é retângulo e DE é perpendicular às bases. Precisamos desse valor para a fórmula da área.

Por que esta fórmula: No trapézio retângulo, o lado perpendicular às bases é a altura. Aqui, DE é perpendicular a CD e EF, então h = DE.

De onde vem cada valor: $DE$ = enunciado: medida fornecida na figura

Passo 4 — Aplicar a fórmula da área do trapézio

Com as bases e a altura conhecidas, basta substituir na fórmula da área do trapézio para obter o resultado.

Por que esta fórmula: A área de um trapézio é a média das bases vezes a altura, pois pode ser decomposto em um retângulo e dois triângulos retângulos.

De onde vem cada valor: $B$ = passo 2: EF · $b$ = passo 2: CD · $h$ = passo 3: DE

Resposta: 30 cm² — alternativa E