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Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2024

MatemáticaQuadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc)
Código
vu206485
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Piracicaba
Ano
2024
Cargo
Fis CC ( )
Em uma maquete, são representados os cômodos de uma casa, todos de forma retangular, e suas medidas são proporcionais às medidas da casa por ela representada. Na maquete, as medidas da largura e do comprimento do quarto são iguais a 15 cm e 25 cm, respectivamente, e a cozinha possui 500 cm2 de área. Na casa, representada pela maquete, a largura do quarto é de 3 metros.   A partir das informações apresentadas no texto, a medida da área da cozinha da casa é igual a
  1. A20 m2.
  2. B18 m2.
  3. C15 m2.
  4. D12 m2.
  5. E10 m2.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 20 m2.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 20 m² — alternativa A.

A ideia por trás

Quando uma figura é ampliada ou reduzida proporcionalmente, todas as suas medidas lineares (comprimentos, larguras) são multiplicadas por um mesmo fator de escala k. A área, porém, é uma grandeza bidimensional: ela é o produto de duas medidas lineares, então quando cada lado é multiplicado por k, a área fica multiplicada por k². Por isso, se você dobra o tamanho de um retângulo, a área quadruplica.

A relação central é: se a razão de semelhança entre duas figuras é k (ou seja, cada comprimento na figura maior é k vezes o correspondente na menor), então a razão entre as áreas é k². Isso vale para qualquer figura semelhante, não só retângulos. Para aplicar, precisamos primeiro descobrir k comparando uma medida linear conhecida nas duas escalas, e depois usar k² para transformar a área.

Esta questão fornece uma medida linear (largura do quarto) nas duas escalas, o que permite achar o fator k. Depois, aplicamos k² sobre a área da cozinha na maquete para obter a área real. O erro clássico é aplicar k apenas uma vez, tratando área como se fosse comprimento.

O que a questão dá

  • largura do quarto na maquete = 15 cm

  • comprimento do quarto na maquete = 25 cm

  • área da cozinha na maquete = 500 cm²

  • largura do quarto na casa = 3 m

O que queremos: a área da cozinha na casa real

Passo 1 — Igualar as unidades da largura do quarto

Para comparar a largura do quarto na maquete (15 cm) com a da casa (3 m), precisamos que estejam na mesma unidade. Vamos converter metros para centímetros, porque a maquete está em centímetros e isso evita números decimais.

Por que esta fórmula: 1 m = 100 cm, então multiplicamos o valor em metros por 100.

3 m=3×100 cm3\ \text{m} = 3 \times 100\ \text{cm}

De onde vem cada valor: 33 = enunciado: largura do quarto na casa = 3 m

3×100=300=300 cm3 \times 100 = 300 = \boxed{300\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de converter e comparar 3 com 15, achando fator 0,2.

Passo 2 — Calcular o fator de escala da maquete para a casa

O fator de escala k é a razão entre uma medida na casa e a correspondente na maquete. Com a largura do quarto já em centímetros, podemos dividir o valor real pelo valor da maquete.

Por que esta fórmula: k = medida na casa / medida na maquete, pois a casa é maior que a maquete.

k=30015k = \frac{300}{15}

De onde vem cada valor: 300300 = passo 1: 300 cm · 1515 = enunciado: largura do quarto na maquete = 15 cm

k=30015=20=20k = \frac{300}{15} = 20 = \boxed{20}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a razão, obtendo 0,05, o que daria uma casa minúscula.

Passo 3 — Elevar o fator de escala ao quadrado

Área é bidimensional: cada comprimento é multiplicado por k, então a área é multiplicada por k × k = k². Precisamos desse valor para transformar a área da cozinha.

Por que esta fórmula: A razão entre áreas é o quadrado da razão de semelhança.

k2=202k^{2} = 20^{2}

De onde vem cada valor: 2020 = passo 2: fator de escala k = 20

k2=400=400k^{2} = 400 = \boxed{400}
NÃO CAIA NESSA!

Usar k = 20 em vez de k² = 400, tratando área como linear.

Passo 4 — Multiplicar a área da maquete pelo fator ao quadrado

A área da cozinha na maquete é 500 cm². Para obter a área real, multiplicamos pela razão de áreas, que é k².

Por que esta fórmula: A_{casa} = A_{maquete} × k², pois a área escala com o quadrado do fator linear.

Acasa=500×400A_{casa} = 500 \times 400

De onde vem cada valor: 500500 = enunciado: área da cozinha na maquete = 500 cm² · 400400 = passo 3: k² = 400

Acasa=500×400=200000=200000 cm2A_{casa} = 500 \times 400 = 200000 = \boxed{200000\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar por 20 em vez de 400, obtendo 10000 cm².

Passo 5 — Converter a área de cm² para m²

A resposta deve estar em metros quadrados. Como 1 m = 100 cm, então 1 m² = 10000 cm². Dividimos a área em cm² por 10000.

Por que esta fórmula: 1 m² = (100 cm)² = 10000 cm², então para converter de cm² para m² dividimos por 10000.

Acasa=20000010000A_{casa} = \frac{200000}{10000}

De onde vem cada valor: 200000200000 = passo 4: área em cm²

Acasa=20000010000=20=20 m2A_{casa} = \frac{200000}{10000} = 20 = \boxed{20\ \text{m}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir por 100 em vez de 10000, obtendo 2000 m².

Resposta: 20 m² — alternativa A

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