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Questão de Matemática — Relações Métricas no Triângulo Retângulo (Inclui Teorema de Pitágoras) — VUNESP 2024

MatemáticaRelações Métricas no Triângulo Retângulo (Inclui Teorema de Pitágoras)
Código
vu206487
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Piracicaba
Ano
2024
Cargo
Fis CC ( )
Um terreno possui a forma de um triângulo retângulo, cujo maior lado mede 34 metros, e cujo lado de medida intermediária mede o correspondente a quinze oitavos da medida do menor dos lados. A área desse terreno é
  1. A180 m2.
  2. B200 m2.
  3. C220 m2.
  4. D240 m2.
  5. E250 m2.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 240 m2.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 240 m² — alternativa D.

A ideia por trás

O triângulo retângulo tem um ângulo de 90°, e seus três lados têm nomes próprios: a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto e é sempre o maior; os outros dois, que formam o ângulo reto, são os catetos. A área de qualquer triângulo é base vezes altura dividido por 2, e no triângulo retângulo os dois catetos funcionam perfeitamente como base e altura, então a área é o produto dos catetos dividido por 2.

O Teorema de Pitágoras diz que, em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos: a² = b² + c². Isso significa que, se você conhece dois lados, descobre o terceiro. A relação vale apenas para triângulos retângulos, e é exatamente o que liga os três lados desta questão.

Aqui conhecemos a hipotenusa (34 m) e sabemos que um cateto é 15/8 do outro. Vamos usar uma variável para o menor cateto, expressar o outro em função dela e aplicar Pitágoras para descobrir os dois catetos — só então calculamos a área.

O que a questão dá

  • maior lado (hipotenusa) = 34 m

  • lado intermediário = 15/8 do menor lado (razão dada no enunciado)

O que queremos: a área do terreno triangular

Passo 1 — Chamar o menor lado de x

Temos duas informações sobre os catetos: um é 15/8 do outro, e a hipotenusa é 34. Para transformar isso em uma equação, precisamos de um nome para o valor desconhecido — esse nome é x, o menor cateto.

NÃO CAIA NESSA!

Trocar a ordem: chamar o intermediário de x e o menor de 8/15 x — funciona, mas é mais confuso. Mantenha x como o menor.

Passo 2 — Montar a equação de Pitágoras

Com os dois catetos expressos em função de x e a hipotenusa conhecida, o Teorema de Pitágoras é a ponte que liga tudo: ele garante que 34² é exatamente x² mais (15/8 x)².

Por que esta fórmula: É a relação que define o triângulo retângulo: o quadrado do maior lado (hipotenusa) é a soma dos quadrados dos outros dois. Não há outra fórmula que relacione os três lados.

342=x2+(158x)234^{2} = x^{2} + \left(\frac{15}{8}x\right)^{2}

De onde vem cada valor: 3434 = enunciado: maior lado = 34 m · xx = passo 1: menor cateto · 158x\frac{15}{8}x = enunciado: lado intermediário = 15/8 do menor

342=x2+(158x)234^{2} = x^{2} + \left(\frac{15}{8}x\right)^{2}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar ao quadrado o 15/8 junto com o x — (15/8 x)² é (225/64)x², não (15/8)x².

Passo 3 — Resolver a equação para achar x

A equação do passo anterior tem x² como incógnita; precisamos isolá-la para descobrir o valor do menor cateto. Isso é álgebra pura: somar os termos com x² e dividir.

Por que esta fórmula: Vamos simplificar a equação passo a passo: calcular 34², somar os coeficientes de x² e isolar x². Não há outra fórmula — é manipulação algébrica.

1156 = frac64x^2 + 225x^264 = frac289x^264

De onde vem cada valor: 11561156 = passo 2: 34² · 6464 = passo 2: 8² (do denominador de 15/8) · 225225 = passo 2: 15² (do numerador de 15/8) · 289289 = soma de 64 e 225 (constante da simplificação)

1156 = frac289x^264
x2=256x^{2} = \boxed{256}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma 64 + 225 = 289 — confundir com 289 = 17², que é justamente o que facilita a conta.

Passo 4 — Extrair a raiz quadrada

x² = 256 nos dá o quadrado do menor cateto; o cateto em si é a raiz quadrada. Como se trata de uma medida de comprimento, só interessa o valor positivo.

Por que esta fórmula: A raiz quadrada é a operação inversa da potência ao quadrado: se x² = 256, então x = √256.

x=256x = \sqrt{256}

De onde vem cada valor: 256256 = passo 3: x² = 256

x=256=16 mx = \sqrt{256} = \boxed{16\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que raiz quadrada de número positivo tem duas respostas (±16), mas comprimento não pode ser negativo — use só o 16.

Passo 5 — Calcular o outro cateto

Já temos o menor cateto (16 m); o intermediário é 15/8 dele. Precisamos desse valor para calcular a área, que usa os dois catetos.

Por que esta fórmula: A relação dada no enunciado é direta: o intermediário é 15/8 vezes o menor. Basta multiplicar.

c=158×xc = \frac{15}{8} \times x

De onde vem cada valor: 158\frac{15}{8} = enunciado: lado intermediário = 15/8 do menor · xx = passo 4: 16 m

c=158×16=30 mc = \frac{15}{8} \times 16 = \boxed{30\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar errado: 15/8 de 16 é 30, não 24 (que seria 3/4 de 16).

Passo 6 — Calcular a área do triângulo

Com os dois catetos em mãos, a área é imediata: no triângulo retângulo, um cateto é base e o outro é altura, então a área é o produto deles dividido por 2.

Por que esta fórmula: A área de qualquer triângulo é (base × altura)/2. Aqui, os catetos são perpendiculares, então servem como base e altura.

A=b×h2A = \frac{b \times h}{2}

De onde vem cada valor: bb = passo 4: 16 m · hh = passo 5: 30 m

A=16×302=240 m2A = \frac{16 \times 30}{2} = \boxed{240\ \text{m}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a hipotenusa (34) na área — ela não é base nem altura, pois não é perpendicular a nenhum cateto.

Resposta: 240 m² — alternativa D

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