Questão de Matemática — Frações e Dízimas Periódicas — VUNESP 2024

Frações e Aumentos Sucessivos

Gabarito: letra C — a diferença entre as quantias acumuladas pelos dois irmãos é de $\frac{11x}{500}$. O primeiro irmão acumula $x \cdot \left(\frac{6}{5}\right)^3 = \frac{216x}{125}$, enquanto o segundo acumula $x \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{7}{6} \cdot \frac{5}{4} = \frac{7x}{4}$. A diferença é $\frac{7x}{4} - \frac{216x}{125} = \frac{11x}{500}$.

A ideia por trás

O problema trata de aumentos sucessivos aplicados a uma quantia inicial $x$. Quando se acrescenta uma fração do valor atual, o novo valor é o valor anterior multiplicado por um fator. Por exemplo, acrescentar a quinta parte do que já se tem significa multiplicar por $1 + \frac{1}{5} = \frac{6}{5}$. Esse é o conceito central: cada acréscimo percentual (ou fracionário) sucessivo é uma multiplicação, não uma soma.

Vamos calcular quanto cada irmão acumula após 3 meses.

Primeiro irmão:

• Mês 1: $x \cdot \frac{6}{5}$

• Mês 2: $x \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{5}$

• Mês 3: $x \cdot \left(\frac{6}{5}\right)^3 = x \cdot \frac{216}{125}$

Segundo irmão:

• Mês 1: acrescenta a sexta parte → multiplica por $1 + \frac{1}{6} = \frac{7}{6}$

• Mês 2: acrescenta a quinta parte → multiplica por $1 + \frac{1}{5} = \frac{6}{5}$

• Mês 3: acrescenta a quarta parte → multiplica por $1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

Assim, o segundo irmão acumula:

Perceba que os fatores $\frac{6}{5}$ e $\frac{5}{4}$ se cancelam, restando $\frac{7}{4}$.

Agora, comparamos os dois totais. O segundo irmão acumulou $\frac{7x}{4} = \frac{875x}{500}$, e o primeiro acumulou $\frac{216x}{125} = \frac{864x}{500}$. A diferença é:

Portanto, o segundo irmão supera o primeiro em $\frac{11x}{500}$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\frac{27x}{500}$ não corresponde à diferença calculada. Esse valor poderia surgir de um erro ao calcular os fatores de aumento, como por exemplo, usar $\frac{6}{5}$ para todos os meses do segundo irmão, o que daria $\left(\frac{6}{5}\right)^3 = \frac{216}{125}$, e depois subtrair incorretamente.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\frac{23x}{500}$ também não é a diferença correta. Esse número pode resultar de um erro na simplificação das frações ou na subtração dos totais.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a diferença entre as quantias é $\frac{11x}{500}$. O segundo irmão acumula $\frac{7x}{4}$ e o primeiro $\frac{216x}{125}$, e a subtração correta resulta em $\frac{11x}{500}$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\frac{7x}{500}$ é um valor que poderia ser obtido se o candidato calculasse apenas a diferença entre os fatores de aumento de um dos meses, ou se confundisse o total do segundo irmão ($\frac{7x}{4}$) com a diferença.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\frac{3x}{500}$ é um valor que não corresponde à diferença. Poderia surgir de um erro ao subtrair as frações, como por exemplo, subtrair apenas os numeradores sem ajustar os denominadores.

Gabarito: letra C