Matemática · VUNESP · 2024 | Questão sqc-vu206489

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 24 momentos — alternativa E.

A ideia por trás

Quando eventos se repetem em intervalos fixos, os instantes em que cada um acontece são os múltiplos desse intervalo. O mínimo múltiplo comum (MMC) entre dois ou mais intervalos é o menor tempo que passa até que eles coincidam de novo. Aqui, cada computador tem seu próprio ritmo, e queremos saber quantos instantes no total têm pelo menos uma atualização.

Para contar a união de três conjuntos de instantes, usamos o princípio da inclusão-exclusão: somamos as quantidades de cada conjunto, subtraímos as interseções de dois a dois e somamos a interseção dos três. Isso evita contar duas vezes os momentos em que dois ou três computadores atualizam juntos. O MMC entre dois intervalos dá o período em que eles coincidem; o MMC dos três dá o período de coincidência tripla.

Esta questão pede a contagem da união dos três conjuntos de instantes de atualização no intervalo de 96 horas, então precisamos calcular quantas vezes cada um atualiza, quantas vezes cada par coincide e quantas vezes os três coincidem, e então aplicar a inclusão-exclusão.

O que a questão dá

intervalo do computador A = 6 horas
intervalo do computador B = 9 horas
intervalo do computador C = 15 horas
início: 1º de junho de 2023, 8h
fim: 5 de junho de 2023, 8h

O que queremos: o número de momentos em que pelo menos um computador é atualizado

Passo 1 — Calcular o total de horas do período

Precisamos saber o tamanho do intervalo de tempo em que vamos contar as atualizações. De 1º de junho, 8h, até 5 de junho, 8h, são exatamente 4 dias completos, e cada dia tem 24 horas.

Por que esta fórmula: Multiplicamos o número de dias por 24 para obter o total de horas.

T = 4 \times 24

De onde vem cada valor: $4$ = enunciado: de 1º a 5 de junho são 4 dias · $24$ = definição: 1 dia = 24 horas

T = 4 \times 24 = \boxed{96\ \text{horas}}

NÃO CAIA NESSA!

Contar 5 dias em vez de 4, pois o intervalo vai de 1º a 5, mas o dia 1º está incluído no início e o dia 5 no fim, então são 4 dias completos.

Passo 2 — Contar as atualizações de cada computador

Cada computador atualiza nos múltiplos do seu intervalo. Para saber quantas vezes cada um atualiza no período, dividimos o total de horas pelo intervalo e pegamos a parte inteira, pois o instante final (96h) pode ou não ser múltiplo.

Por que esta fórmula: O número de múltiplos de um número k até um limite T é dado por ⌊T/k⌋, a divisão inteira. Isso conta os instantes 1k, 2k, 3k, ... até o maior múltiplo menor ou igual a T.

n_A = \left\lfloor \frac{T}{6} \right\rfloor, \quad n_B = \left\lfloor \frac{T}{9} \right\rfloor, \quad n_C = \left\lfloor \frac{T}{15} \right\rfloor

De onde vem cada valor: $T$ = passo 1: 96 horas · $6$ = enunciado: intervalo do computador A · $9$ = enunciado: intervalo do computador B · $15$ = enunciado: intervalo do computador C

n_A = \left\lfloor \frac{96}{6} \right\rfloor = 16, \quad n_B = \left\lfloor \frac{96}{9} \right\rfloor = 10, \quad n_C = \left\lfloor \frac{96}{15} \right\rfloor = 6 = \boxed{\text{A}: 16, \text{B}: 10, \text{C}: 6}

NÃO CAIA NESSA!

Arredondar para cima em vez de para baixo; por exemplo, 96/9 = 10,66, mas o maior múltiplo de 9 até 96 é 90, que é o 10º múltiplo, então são 10, não 11.

Passo 3 — Calcular os MMCs entre pares

Quando dois computadores têm intervalos diferentes, eles coincidem nos múltiplos do MMC desses intervalos. Precisamos desses períodos para saber quantas vezes cada par atualiza junto.

Por que esta fórmula: O MMC de dois números é o menor múltiplo comum; os instantes de coincidência são os múltiplos desse MMC. Calculamos MMC(6,9), MMC(6,15) e MMC(9,15).

MMC(6{,}9) = 18, \quad MMC(6{,}15) = 30, \quad MMC(9{,}15) = 45

De onde vem cada valor: $6$ = enunciado: intervalo do computador A · $9$ = enunciado: intervalo do computador B · $15$ = enunciado: intervalo do computador C · $18$ = definição: MMC(6,9) = 18 · $30$ = definição: MMC(6,15) = 30 · $45$ = definição: MMC(9,15) = 45

MMC(6{,}9) = 18, \quad MMC(6{,}15) = 30, \quad MMC(9{,}15) = 45 = \boxed{18\ , 30, 45 \text{horas}}

NÃO CAIA NESSA!

Confundir MMC com MDC; por exemplo, MMC(6,9) é 18, não 3.

Passo 4 — Contar as coincidências de cada par

Com os períodos de coincidência, contamos quantas vezes cada par atualiza junto no intervalo de 96 horas, usando a mesma divisão inteira.

Por que esta fórmula: O número de múltiplos do MMC até T é ⌊T/MMC⌋.

n_{AB} = \left\lfloor \frac{96}{18} \right\rfloor, \quad n_{AC} = \left\lfloor \frac{96}{30} \right\rfloor, \quad n_{BC} = \left\lfloor \frac{96}{45} \right\rfloor

De onde vem cada valor: $96$ = passo 1 · $18$ = passo 3: MMC(6,9) · $30$ = passo 3: MMC(6,15) · $45$ = passo 3: MMC(9,15)

n_{AB} = \left\lfloor \frac{96}{18} \right\rfloor = 5, \quad n_{AC} = \left\lfloor \frac{96}{30} \right\rfloor = 3, \quad n_{BC} = \left\lfloor \frac{96}{45} \right\rfloor = 2 = \boxed{\text{AB}: 5, \text{AC}: 3, \text{BC}: 2}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o instante 90 é múltiplo de 18, 30 e 45, então ele conta em todos os pares.

Passo 5 — Calcular o MMC dos três e contar a coincidência tripla

Os três computadores coincidem nos múltiplos do MMC de 6, 9 e 15. Esse instante é contado três vezes na soma inicial e três vezes nas subtrações dos pares, então precisamos somá-lo uma vez de volta.

Por que esta fórmula: O MMC de três números é o menor múltiplo comum a todos; aqui, MMC(6,9,15) = 90. O número de múltiplos de 90 até 96 é 1 (o próprio 90).

MMC(6{,}9,15) = 90, \quad n_{ABC} = \left\lfloor \frac{96}{90} \right\rfloor

De onde vem cada valor: $6$ = enunciado: intervalo do computador A · $9$ = enunciado: intervalo do computador B · $15$ = enunciado: intervalo do computador C · $90$ = definição: MMC(6,9,15) = 90 · $96$ = passo 1

MMC(6{,}9,15) = 90, \quad n_{ABC} = \left\lfloor \frac{96}{90} \right\rfloor = 1 = \boxed{1}

NÃO CAIA NESSA!

Achar que o MMC é 270 (produto), mas 90 é o menor múltiplo comum.

Passo 6 — Aplicar a inclusão-exclusão

Somamos as contagens individuais, subtraímos as dos pares e somamos a tripla para obter o número de instantes com pelo menos uma atualização, sem duplicar.

Por que esta fórmula: O princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos: |A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| − |A∩B| − |A∩C| − |B∩C| + |A∩B∩C|.

x = n_A + n_B + n_C - n_{AB} - n_{AC} - n_{BC} + n_{ABC}

De onde vem cada valor: $n_A$ = passo 2: 16 · $n_B$ = passo 2: 10 · $n_C$ = passo 2: 6 · $n_{AB}$ = passo 4: 5 · $n_{AC}$ = passo 4: 3 · $n_{BC}$ = passo 4: 2 · $n_{ABC}$ = passo 5: 1

x = 16 + 10 + 6 - 5 - 3 - 2 + 1 = \boxed{23}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar a interseção tripla, o que daria 22.

Passo 7 — Incluir o instante inicial

O instante t = 0 (1º de junho, 8h) é um momento em que os três computadores foram atualizados, e ele não foi contado nas divisões porque começamos a contar a partir do primeiro múltiplo positivo. O enunciado pede 'momentos em que pelo menos um foi atualizado', então o início conta.

Por que esta fórmula: Adicionamos 1 ao total anterior para incluir o instante inicial.

x_{final} = x + 1

De onde vem cada valor: $x$ = passo 6: 23 · $1$ = definição: instante inicial t = 0

x_{final} = 23 + 1 = \boxed{24}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de contar o instante inicial, pois ele não é múltiplo positivo de nenhum intervalo.

Resposta: 24 momentos — alternativa E

Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — VUNESP 2024

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Calcular o total de horas do período

Passo 2 — Contar as atualizações de cada computador

Passo 3 — Calcular os MMCs entre pares

Passo 4 — Contar as coincidências de cada par

Passo 5 — Calcular o MMC dos três e contar a coincidência tripla

Passo 6 — Aplicar a inclusão-exclusão

Passo 7 — Incluir o instante inicial