GabaritoB — 23.
Gabarito: letra B — a conta chega a r = 23 — alternativa B.
Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se uma constante, chamada de razão, ao termo anterior. Por exemplo, na PA (2, 5, 8, 11, ...), a razão é 3, pois 5 − 2 = 3, 8 − 5 = 3, e assim por diante. A razão é sempre a diferença entre um termo e seu antecessor.
A fórmula do termo geral é a ferramenta central para resolver problemas como este. Ela permite encontrar qualquer termo da PA sem precisar escrever todos os anteriores: a_n = a_1 + (n-1) * r, onde a_n é o termo de posição n, a_1 é o primeiro termo e r é a razão. O termo (n-1) representa quantos 'passos' de tamanho r precisamos dar para sair do primeiro termo até o termo de posição n.
Esta questão cobra exatamente a aplicação da fórmula do termo geral, mas com uma pegadinha: o número de termos entre os extremos não é a posição do último termo. Precisamos primeiro descobrir quantos termos a PA tem no total.
primeiro termo = 85
último termo = 775
quantidade de termos entre os extremos = 29
O que queremos: a razão da progressão aritmética
A fórmula do termo geral usa a posição n do termo, não a quantidade de termos entre os extremos. Se existem 29 termos entre 85 e 775, então a sequência completa tem 29 termos no meio mais os dois extremos: 29 + 2 = 31 termos no total. Como 85 é o primeiro, 775 é o 31º termo.
Por que esta fórmula: Não é uma fórmula, é uma contagem: o número de termos entre dois extremos não inclui os próprios extremos. Para achar a posição do último, somamos 1 (o primeiro extremo) + 29 (os do meio) + 1 (o último extremo).
Usar n = 29 (o número de termos entre os extremos) em vez de n = 31 (a posição do último termo). Isso daria r ≈ 23,79, que não está nas alternativas.
Agora que sabemos que 775 é o 31º termo, podemos usar a fórmula do termo geral para relacionar o primeiro termo, o último e a razão. Essa fórmula é a ponte entre a posição de um termo e seu valor.
Por que esta fórmula: A fórmula a_n = a_1 + (n-1) * r é a definição de PA: cada termo é o primeiro mais a razão multiplicada pelo número de passos (n-1). É a única relação que liga os três dados que temos.
De onde vem cada valor: = enunciado: 775 (último termo) · = enunciado: 85 (primeiro termo) · = passo 1: 31
Esquecer de subtrair 1 de n, usando 31 em vez de 30 no fator (n-1).
A equação do passo anterior tem r como incógnita. Para descobrir seu valor, precisamos isolá-la, fazendo operações inversas: primeiro subtrair 85 dos dois lados, depois dividir por 30.
Por que esta fórmula: Isso é álgebra básica: para desfazer a soma de 85, subtraímos; para desfazer a multiplicação por 30, dividimos. O objetivo é deixar r sozinho de um lado da igualdade.
De onde vem cada valor: = enunciado: 775 · = enunciado: 85 · = passo 1: 31
Dividir 690 por 29 em vez de 30, por ter usado n = 29 no passo 1.
Resposta: r = 23 — alternativa B
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