Matemática · VUNESP · 2024 | Questão sqc-vu206494

Polinômios e raízes de multiplicidade

Gabarito: letra A — o valor de k é –1.200. A chave está em usar as relações de Girard (soma e produto das raízes) combinadas com a informação de que –8 é raiz simples e que 3 é raiz dupla, o que determina a outra raiz dupla e, por consequência, o coeficiente k.

O polinômio dado é de grau 5, então possui exatamente 5 raízes (contando multiplicidades). O enunciado afirma que há duas raízes positivas distintas de multiplicidade 2, e que uma delas é 3. Portanto, as raízes são: 3 (multiplicidade 2), uma outra raiz positiva desconhecida, digamos r (multiplicidade 2), e –8 (raiz simples). Isso totaliza 2 + 2 + 1 = 5 raízes, o que fecha o grau do polinômio.

Agora, aplicamos as relações de Girard. Para um polinômio $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0$ , a soma das raízes é $-\frac{a_{n-1}}{a_n}$ e o produto das raízes é $(-1)^n \frac{a_0}{a_n}$ . No nosso caso, $a_5 = 1$ , $a_4 = -6$ , $a_0 = 1152$ .

Soma das raízes:

3 + 3 + r + r + (-8) = -\frac{-6}{1} = 6

6 + 2r - 8 = 6 \Rightarrow 2r - 2 = 6 \Rightarrow 2r = 8 \Rightarrow r = 4

Portanto, as raízes são: 3 (dupla), 4 (dupla) e –8 (simples).

Produto das raízes:

3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot (-8) = 9 \cdot 16 \cdot (-8) = 144 \cdot (-8) = -1152

Pela relação de Girard, o produto das raízes é $(-1)^5 \cdot \frac{1152}{1} = -1152$ . Isso confirma que as raízes estão corretas.

Agora, para encontrar k, usamos a relação de Girard para a soma dos produtos das raízes tomadas três a três (ou, mais diretamente, expandimos o polinômio fatorado). O polinômio fatorado é:

P(x) = (x-3)^2 (x-4)^2 (x+8)

Vamos expandir:

(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9

(x-4)^2 = x^2 - 8x + 16

Multiplicando os dois:

(x^2 - 6x + 9)(x^2 - 8x + 16) = x^4 - 8x^3 + 16x^2 - 6x^3 + 48x^2 - 96x + 9x^2 - 72x + 144

= x^4 - 14x^3 + 73x^2 - 168x + 144

Agora multiplicamos por $(x+8)$ :

(x^4 - 14x^3 + 73x^2 - 168x + 144)(x+8) = x^5 + 8x^4 - 14x^4 - 112x^3 + 73x^3 + 584x^2 - 168x^2 - 1344x + 144x + 1152

= x^5 - 6x^4 - 39x^3 + 416x^2 - 1200x + 1152

Comparando com o polinômio original $P(x) = x^5 - 6x^4 - 39x^3 + 416x^2 + kx + 1152$ , vemos que o coeficiente de $x$ é –1200. Portanto, $k = -1200$ .

A pegadinha desta questão está em não perceber que a informação de que –8 é raiz simples, junto com a multiplicidade das outras raízes, é suficiente para determinar todas as raízes. Muitos candidatos tentam usar o fato de que 3 é raiz para substituir no polinômio e encontrar k diretamente, mas isso não é suficiente porque ainda há a outra raiz dupla desconhecida. A solução correta exige usar a soma das raízes para encontrar a outra raiz dupla e, então, expandir o polinômio fatorado.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a expansão do polinômio fatorado $(x-3)^2(x-4)^2(x+8)$ resulta em $x^5 - 6x^4 - 39x^3 + 416x^2 - 1200x + 1152$ . Portanto, o coeficiente de $x$ é –1200, e $k = -1200$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor –600 seria obtido se, por exemplo, a outra raiz dupla fosse 2 em vez de 4, ou se houvesse um erro na expansão do polinômio. Mas, com as raízes corretas (3, 3, 4, 4, –8), o coeficiente de $x$ é –1200, não –600.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor –300 não corresponde a nenhum coeficiente do polinômio expandido. É um distrator que pode surgir de um erro de cálculo na multiplicação dos fatores.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor –150 também não corresponde ao coeficiente correto. Poderia ser obtido se houvesse um erro na determinação da outra raiz dupla ou na expansão.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor –75 é outro distrator. Não há como obter esse valor com as raízes corretas; ele provavelmente resulta de um erro na aplicação das relações de Girard ou na expansão.

Gabarito: letra A