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Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2024

MatemáticaAnálise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
vu206495
Banca
VUNESP
Órgão
PM SP
Ano
2024
Cargo
Alun Of ( )

Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 7 serão formados números de 3 algarismos, da forma cdu, com c representando o algarismo das centenas, d o das dezenas e u o das unidades, obedecendo às seguintes condições:

 

• os números pares devem ser tais que c ≥ d e d > u;

• os números ímpares devem ser tais que c > u.

 

Nessas condições, o total de números distintos que podem ser formados é

  1. A15.
  2. B24.
  3. C67.
  4. D90.
  5. E120.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 67.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 58 números (nenhuma alternativa corresponde; o gabarito indicado como C=67 parece incorreto).

A ideia por trás

A análise combinatória é a parte da matemática que conta de quantas maneiras diferentes podemos escolher ou organizar elementos, sem precisar listar um a um. Aqui, cada número de três algarismos é uma sequência ordenada (centena, dezena, unidade) escolhida de um conjunto de seis algarismos, e as condições do enunciado restringem quais sequências são válidas.

O princípio fundamental da contagem diz: se uma escolha tem m possibilidades e, para cada uma delas, uma segunda tem n, o total é m × n. Quando as situações são mutuamente exclusivas (um número não pode ser par e ímpar ao mesmo tempo), usamos o princípio aditivo: somamos as contagens de cada caso. A paridade do número é definida pelo algarismo das unidades: se u é par (2 ou 4), o número é par; se u é ímpar (1, 3, 5 ou 7), é ímpar.

Esta questão exige separar os números em pares e ímpares, aplicar as restrições de ordem entre os algarismos em cada caso e somar os resultados parciais. A dificuldade está em contar corretamente as possibilidades para cada valor da unidade, respeitando as desigualdades.

O que a questão dá

  • algarismos disponíveis: 1, 2, 3, 4, 5 e 7

  • números de 3 algarismos (c, d, u) sem repetição

  • números pares: c ≥ d e d > u

  • números ímpares: c > u

O que queremos: o total de números distintos que podem ser formados

Passo 1 — Contar os números pares com unidade 2

Começamos pelos números pares porque a unidade só pode ser 2 ou 4. Para u = 2, a condição d > 2 e c ≥ d limita as escolhas de d e c. Vamos contar quantas combinações de d e c satisfazem isso, usando os algarismos restantes {1, 3, 4, 5, 7}.

Por que esta fórmula: Para cada valor de d, contamos quantos c são possíveis (c ≥ d). Somamos essas quantidades porque os casos de d são mutuamente exclusivos.

Nu=2=∑d=3,4,5,7(nuˊmero de c \geqd)N_{u=2} = \sum_{d=3{,}4,5{,}7} (\text{número de c \geq d})

De onde vem cada valor: dd = enunciado: algarismos maiores que 2, exceto o 2 já usado · cc = enunciado: algarismos maiores ou iguais a d, exceto os já usados

Nu=2=4+3+2+1=10 nuˊmerosN_{u=2} = 4 + 3 + 2 + 1 = \boxed{10\ \text{n}ú\text{meros}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que c pode ser igual a d, contando apenas c > d

Passo 2 — Contar os números pares com unidade 4

Agora a unidade é 4. A condição d > 4 e c ≥ d restringe d a 5 ou 7. Contamos as possibilidades para c em cada caso, usando os algarismos restantes {1, 2, 3, 5, 7}.

Por que esta fórmula: Para cada d possível, contamos quantos c ≥ d existem. Somamos os resultados.

Nu=4=∑d=5,7(nuˊmero de c \geqd)N_{u=4} = \sum_{d=5{,}7} (\text{número de c \geq d})

De onde vem cada valor: dd = enunciado: algarismos maiores que 4, exceto o 4 já usado · cc = enunciado: algarismos maiores ou iguais a d, exceto os já usados

Nu=4=2+1=3 nuˊmerosN_{u=4} = 2 + 1 = \boxed{3\ \text{n}ú\text{meros}}
NÃO CAIA NESSA!

Incluir d = 3 ou d = 2, que não satisfazem d > 4

Passo 3 — Somar os números pares

Os casos u = 2 e u = 4 são mutuamente exclusivos, então o total de pares é a soma das contagens obtidas.

Por que esta fórmula: Princípio aditivo: quando duas situações não se sobrepõem, somamos as possibilidades.

Npares=Nu=2+Nu=4N_{pares} = N_{u=2} + N_{u=4}

De onde vem cada valor: Nu=2N_{u=2} = passo 1: 10 · Nu=4N_{u=4} = passo 2: 3

Npares=10+3N_{pares} = 10 + 3

NparesN_{pares} = 13 números pares

NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar as contagens em vez de somar, o que daria 30

Passo 4 — Contar os números ímpares com unidade 1

Agora passamos aos ímpares. Para u = 1, a condição c > 1 permite c = 2, 3, 4, 5 ou 7 (5 opções). Para cada c, a dezena d pode ser qualquer um dos 5 algarismos restantes (excluindo u e c).

Por que esta fórmula: Princípio multiplicativo: para cada escolha de c, há 5 escolhas de d, então multiplicamos.

Nu=1=5×5N_{u=1} = 5 \times 5

De onde vem cada valor: 5(primeiro)5 (primeiro) = enunciado: algarismos maiores que 1 · 5(segundo)5 (segundo) = enunciado: algarismos restantes após escolher u e c

Nu=1=5×5=25 nuˊmerosN_{u=1} = 5 \times 5 = \boxed{25\ \text{n}ú\text{meros}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que d pode ser qualquer algarismo, inclusive menor que c, desde que diferente

Passo 5 — Contar os números ímpares com unidade 3

Para u = 3, a condição c > 3 permite c = 4, 5 ou 7 (3 opções). Para cada c, d pode ser qualquer um dos 5 algarismos restantes.

Por que esta fórmula: Multiplicamos o número de opções de c pelo número de opções de d.

Nu=3=3×5N_{u=3} = 3 \times 5

De onde vem cada valor: 33 = enunciado: algarismos maiores que 3 · 55 = enunciado: algarismos restantes após escolher u e c

Nu=3=3×5=15 nuˊmerosN_{u=3} = 3 \times 5 = \boxed{15\ \text{n}ú\text{meros}}
NÃO CAIA NESSA!

Incluir c = 3, que não satisfaz c > 3

Passo 6 — Contar os números ímpares com unidade 5

Para u = 5, a condição c > 5 só permite c = 7 (1 opção). Para esse c, d pode ser qualquer um dos 5 algarismos restantes.

Por que esta fórmula: Multiplicamos as opções de c (1) pelas opções de d (5).

Nu=5=1×5N_{u=5} = 1 \times 5

De onde vem cada valor: 11 = enunciado: algarismos maiores que 5 · 55 = enunciado: algarismos restantes após escolher u e c

Nu=5=1×5=5 nuˊmerosN_{u=5} = 1 \times 5 = \boxed{5\ \text{n}ú\text{meros}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que u = 7 não tem c maior, então não conta

Passo 7 — Somar os números ímpares

Os casos u = 1, 3 e 5 são mutuamente exclusivos, então somamos as contagens. O caso u = 7 não contribui porque não há algarismo maior que 7.

Por que esta fórmula: Princípio aditivo.

Nimpares=Nu=1+Nu=3+Nu=5N_{impares} = N_{u=1} + N_{u=3} + N_{u=5}

De onde vem cada valor: Nu=1N_{u=1} = passo 4: 25 · Nu=3N_{u=3} = passo 5: 15 · Nu=5N_{u=5} = passo 6: 5

Nimpares=25+15+5N_{impares} = 25 + 15 + 5

NimparesN_{impares} = 45 números ímpares

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar o caso u = 5 ou incluir u = 7

Passo 8 — Somar pares e ímpares

O total de números é a soma dos pares e ímpares, pois são conjuntos disjuntos.

Por que esta fórmula: Princípio aditivo final.

Ntotal=Npares+NimparesN_{total} = N_{pares} + N_{impares}

De onde vem cada valor: NparesN_{pares} = passo 3: 13 · NimparesN_{impares} = passo 7: 45

Ntotal=13+45=58 nuˊmerosN_{total} = 13 + 45 = \boxed{58\ \text{n}ú\text{meros}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar errado ou esquecer de somar os dois grupos

Resposta: 58 números (nenhuma alternativa corresponde; o gabarito indicado como C=67 parece incorreto)

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